《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 用配方法解方程$\frac {1}{2}x^{2}+x-\frac {5}{2}= 0$时,可配方为$\frac {1}{2}[(x+1)^{2}+k]= 0$,其中$k= $-6。

答案： -6

9. 小明设计了一个魔术盒,当将任意实数对$(a,b)$放入其中时,会得到一个新的实数$2a^{2}-2b+1$。若将实数对$(x,-2x)$放入其中,得到4,则$x= $$\frac {-2\pm \sqrt {10}}{2}$。

答案： $\frac {-2\pm \sqrt {10}}{2}$

10. 用配方法解下列方程：
(1)$3x^{2}-6x+1= 0$；
(2)$2x^{2}-8x+3= 0$；
(3)$2x^{2}-12x+5= 0$；
(4)$2x^{2}+\sqrt {2}x-30= 0$；
(5)$3x^{2}-6x-1= 0$；
(6)$-2x^{2}-3x+2= 0$。

答案： 解:
(1)原方程变形为$3(x^{2}-2x)=-1,$
配方,得$3(x^{2}-2x+1-1)=-1,$
即$3(x-1)^{2}=-1+3,$
解这个方程,得$x-1=\pm \sqrt {\frac {2}{3}},$
所以$x_{1}=1+\frac {\sqrt {6}}{3},x_{2}=1-\frac {\sqrt {6}}{3}.$
(2)原方程变形为$x^{2}-4x=-\frac {3}{2},$
配方,得$x^{2}-4x+4=-\frac {3}{2}+4$,即$(x-2)^{2}=\frac {5}{2},$
解这个方程,得$x-2=\pm \frac {\sqrt {10}}{2},$
所以$x_{1}=2+\frac {\sqrt {10}}{2},x_{2}=2-\frac {\sqrt {10}}{2}.$
(3)移项,得$2x^{2}-12x=-5,$
二次项系数化为1,得$x^{2}-6x=-\frac {5}{2},$
配方,得$x^{2}-6x+9=-\frac {5}{2}+9$,即$(x-3)^{2}=\frac {13}{2},$
解这个方程,得$x-3=\pm \frac {\sqrt {26}}{2},$
所以$x_{1}=3+\frac {\sqrt {26}}{2},x_{2}=3-\frac {\sqrt {26}}{2}.$
(4)二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac {\sqrt {2}}{2}x=15,$
配方,得$x^{2}+\frac {\sqrt {2}}{2}x+(\frac {\sqrt {2}}{4})^{2}=15+(\frac {\sqrt {2}}{4})^{2},$
即$(x+\frac {\sqrt {2}}{4})^{2}=\frac {121}{8},$
解这个方程,得$x+\frac {\sqrt {2}}{4}=\pm \frac {11\sqrt {2}}{4},$
所以$x_{1}=-3\sqrt {2},x_{2}=\frac {5\sqrt {2}}{2}.$
(5)二次项系数化为1,得$x^{2}-2x-\frac {1}{3}=0,$
配方,得$x^{2}-2x+1=\frac {1}{3}+1$,即$(x-1)^{2}=\frac {4}{3},$
解这个方程,得$x-1=\pm \frac {2\sqrt {3}}{3},$
所以$x_{1}=\frac {3+2\sqrt {3}}{3},x_{2}=\frac {3-2\sqrt {3}}{3}.$
(6)二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac {3}{2}x-1=0,$
配方,得$x^{2}+\frac {3}{2}x+(\frac {3}{4})^{2}=1+(\frac {3}{4})^{2},$
即$(x+\frac {3}{4})^{2}=\frac {25}{16},$
解这个方程,得$x+\frac {3}{4}=\pm \frac {5}{4},$
所以$x_{1}=-2,x_{2}=\frac {1}{2}.$

11. 已知关于x的方程$(a^{2}-4a+5)x^{2}+2ax+4= 0$。
(1)试说明无论a取何实数,这个方程都是一元二次方程；
(2)当$a= 2$时,解这个方程。

答案： 解:
(1)$a^{2}-4a+5=(a^{2}-4a+4)+1=(a-2)^{2}+1.$$\because (a-2)^{2}≥0,\therefore (a-2)^{2}+1≠0,$
∴无论a取何实数,关于x的方程$(a^{2}-4a+5)x^{2}+2ax+4=0$都是一元二次方程.
(2)当$a=2$时,原方程变为$x^{2}+4x+4=0,$解得$x_{1}=x_{2}=-2.$

12. 用配方法不仅可以解一元二次方程,还可以解决很多问题. 例如,因为$3a^{2}≥0$,所以$3a^{2}+1$有最小值1,即$3a^{2}+1≥1$,只有当$a= 0$时,才能得到这个式子的最小值1. 同样,因为$-3a^{2}≤0$,所以$-3a^{2}+1$有最大值1,即$-3a^{2}+1≤1$,只有当$a= 0$时,才能得到这个式子的最大值1.
(1)当$x=$-3时,代数式$3(x+3)^{2}+4$有最小(填“大”或“小”)值,为4；
(2)如图,矩形花园的一面靠墙,另外三面栅栏的总长度是16m,当花园与墙垂直的边长为多少米时,花园的面积最大？最大面积是多少？

解:设矩形花园与墙垂直的边长为x m,则平行于墙的边长为$(16-2x)m.$花园的面积$S=x(16-2x)=-2x^{2}+16x=-2(x^{2}-8x+16)+32=-2(x-4)^{2}+32,$当$x=4$时,S有最大值,为32.答:当花园与墙垂直的边长为4m时,花园的面积最大,最大面积为$32m^{2}.$

答案：
(1)-3 小 4
(2)解:设矩形花园与墙垂直的边长为x m,则平行于墙的边长为$(16-2x)m.$花园的面积$S=x(16-2x)=-2x^{2}+16x=-2(x^{2}-8x+16)+32=-2(x-4)^{2}+32,$当$x=4$时,S有最大值,为32.答:当花园与墙垂直的边长为4m时,花园的面积最大,最大面积为$32m^{2}.$