《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

8. (徐州期中)若点A到$\odot O$上的点的最大距离为5 cm,最小距离为3 cm,则$\odot O$的半径为4或1cm.

答案： 4或1

9. (2024·高新区模拟)已知点P是半径为4的$\odot O$上一点,平面上一点Q到点P的距离为2,则线段OQ的长度a的范围为2≤a≤6.

答案： 2≤a≤6

10. 如图,在四边形ABCD中,$∠ABC$,$∠ADC$均为直角,且$AB = 3$,$BC = 4$,$AD = 2$.
(1)求证：A,B,C,D四个点都在同一个圆上；
(2)求这个圆的半径,并计算它的面积.

答案：

(1)证明:如答图，取AC的中点E,连接DE,BE.
∵∠ABC,∠ADC均为直角，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
∴AE=BE=CE=DE,
∴A,B,C,D四个点都在以点E为圆心的同一个圆上.
(2)解:在Rt△ABC中,AC=√(AB²+BC²)=5,
∴该圆的半径r为2.5,
∴S=πr²=6.25π.
　　　　　　　　　

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AB = 3$ cm,$AC = 4$ cm,AD是高线,AE是中线.
(1)以点A为圆心,3 cm为半径作$\odot A$,则点B,D,E,C与$\odot A$的位置关系怎样？
(2)若以点A为圆心作$\odot A$,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求$\odot A$的半径r的取值范围.

答案： 1. （1）
首先求$BC$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$，已知$AB = 3\mathrm{cm}$，$AC = 4\mathrm{cm}$，则$BC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=5\mathrm{cm}$。
然后求$AD$的长度：
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AD$，解得$AD=\frac{12}{5}=2.4\mathrm{cm}$。
接着求$AE$的长度：
因为$AE$是中线，在$Rt\triangle ABC$中，直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$AE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}=2.5\mathrm{cm}$。
最后判断点与圆的位置关系：
已知$\odot A$的半径$r = 3\mathrm{cm}$。
对于点$B$：$AB = 3\mathrm{cm}$，因为$d_{B}=AB$，$r = 3\mathrm{cm}$，所以点$B$在$\odot A$上。
对于点$D$：$AD = 2.4\mathrm{cm}$，因为$d_{D}=AD\lt r$（$2.4\lt3$），所以点$D$在$\odot A$内。
对于点$E$：$AE = 2.5\mathrm{cm}$，因为$d_{E}=AE\lt r$（$2.5\lt3$），所以点$E$在$\odot A$内。
对于点$C$：$AC = 4\mathrm{cm}$，因为$d_{C}=AC\gt r$（$4\gt3$），所以点$C$在$\odot A$外。
2. （2）
已知$AB = 3\mathrm{cm}$，$AC = 4\mathrm{cm}$，$AD=\frac{12}{5}=2.4\mathrm{cm}$。
因为$AD\lt AB\lt AC$，要使$B$，$C$，$D$三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外。
当点$D$在圆内时，$r\gt AD = 2.4\mathrm{cm}$；当点$C$在圆外时，$r\lt AC = 4\mathrm{cm}$。
所以：
（1）点$B$在$\odot A$上，点$D$在$\odot A$内，点$E$在$\odot A$内，点$C$在$\odot A$外；
（2）$\odot A$的半径$r$的取值范围是$2.4\mathrm{cm}\lt r\lt4\mathrm{cm}$。

12. 如图,点$A(2,0)$,$M(0,1)$分别是x轴和y轴上的两点,点B是以点M为圆心、1为半径的圆上的一个动点,连接AB,C是AB的中点,连接OC,求OC长度的最大值.

答案： 1. 首先，取$AM$的中点$D$：
已知$A(2,0)$，$M(0,1)$，根据中点坐标公式$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，可得$D$点坐标为$(\frac{2 + 0}{2},\frac{0 + 1}{2})$，即$D(1,\frac{1}{2})$。
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，计算$OD$的长度：$OD=\sqrt{(1 - 0)^2+(\frac{1}{2}-0)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{4 + 1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
因为$C$是$AB$的中点，根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），在$\triangle ABM$中，$BC = AC$，$AD=MD$，所以$CD=\frac{1}{2}BM$。
已知圆$M$的半径$BM = 1$，则$CD=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
2. 然后，根据三角形三边关系$\vert OC\vert\leqslant OD + CD$：
由三角形三边关系$OC\leqslant OD + CD$（当$O$，$D$，$C$三点共线，且$D$在线段$OC$上时取等号）。
所以$OC$长度的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。