《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

8.(高邮模拟)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 若小正方形和大正方形的面积分别为49和289,则图中直角三角形内切圆的半径为______3。

答案： 3

9.(2024·鼓楼区模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 58^{\circ}$,$\triangle ABC的内切圆\odot O与AB$,$AC分别相切于点D$,$E$,连接$DE$,$BO的延长线交DE于点F$,则$\angle BFD$的度数是______29°。

答案： 29°

10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 5$,$BC= 12$,$AM= 1$,$I为\triangle ABC$的内心,则$IM= $2√2。

答案： 2√2

11. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点$A$,$B$,$C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)$,$(-3,3)$,$(7,-2)$,则$\triangle ABC$内心的坐标为(2,3)。

答案： (2,3)

12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,切点分别为$D$,$E$,$F$.
(1)求证：四边形$OECF$是正方形；
(2)若$AC= 6cm$,$BC= 8cm$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:
∵E,F是圆的切点，
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,
∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OECF是正方形.
(2)解:如答图，连接OA,OB,OC,OD.
　　　　　　　
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F，
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.设OD=OE=OF=r.
∵AC=6,BC=8,
∴AB=10.
∵$S_{\triangle ACB}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAB}$
∴$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$AC×r+$\frac{1}{2}$BC×r+$\frac{1}{2}$AB×r,
　即$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6r+$\frac{1}{2}$×8r+$\frac{1}{2}$×10r,解得r=2.即⊙O的半径是2cm.

13. 如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80,腰长为50.
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少？
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间的距离.

答案：
解:
(1)如答图①,过点A作AD⊥BC于点D,则BD=CD=40,AD=30.设最大圆的半径为r.
　　　　　　
∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}$
∴$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$(AB+BC+CA)r,
即$\frac{1}{2}$×80×30=$\frac{1}{2}$(50+80+50)r,解得r=$\frac{40}{3}$.
(2)如答图②,设覆盖圆的半径为R,圆心为点O'，过点A作AD⊥BC于点D,连接O'C.
　　　　　　　
∵△ABC是等腰三角形,
∴BD=CD=40,AD=30,
∴点O'在直线AD上.
在Rt△O'DC中,$R^{2}=40^{2}+(R - 30)^{2}$,解得$R=\frac{125}{3}$.
∵以BD长为半径的圆，也可以覆盖，40＜$\frac{125}{3}$,
∴这个圆的最小半径是40.
(3)由
(1)
(2)可知,$AO'=R=\frac{125}{3}$,$AO=30-\frac{40}{3}=\frac{50}{3}$,
∴$OO'=\frac{125}{3}-\frac{50}{3}=25$.
即这块等腰三角形钢板的内心与外心之间的距离为25.