《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

9. (2024·秦淮区一模)若关于 x 的方程$(x-1)(x+a)= 0$有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是a≠-1.

答案： a≠-1

10. (2024·东海县二模)若一次函数$y= kx+b(k≠0)$的图像经过第一、二、四象限,则方程$bx^{2}-2x+k= 0$有两个根.

答案： 两

11. 已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-2mx+2m-1= 0$.
(1)若该方程有一个根是 x= 2,求 m 的值;
(2)求证:无论 m 取何值,该方程总有两个实数根.

答案：
(1)解:
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx+2m-1=0$的一个根是x=2,
∴$2^{2}-4m+2m-1=0$,
∴$m=\frac{3}{2}$.
(2)证明:由题意,得$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(2m-1)=4m^{2}-8m+4=4(m-1)^{2}\geq0$,
∴无论m取何值,该方程总有两个实数根.

12. 已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m+1= 0$.
(1)如果该方程有两个相等的实数根,求 m 的值;
(2)如果该方程有一个根小于 0,求 m 的取值范围.

答案：
(1)由题意,得$b^{2}-4ac=0$,即$(m+2)^{2}-4(m+1)=0$,解得$m_{1}=m_{2}=0$,即m的值为0.
(2)根据题意,得$x=\frac{m+2\pm m}{2}$,
∴$x_{1}=m+1$,$x_{2}=1$.
∵该方程有一个根小于0,
∴$m+1＜0$,解得m＜-1.即m的取值范围为m＜-1.

13. 已知关于 x 的方程$mx^{2}-(m+2)x+2= 0$.
(1)求证:不论 m 为何值,该方程总有实数根;
(2)当 m 为何整数时,该方程有两个不相等的正整数根?

答案：
(1)证明:当m≠0时,$b^{2}-4ac=(m+2)^{2}-8m=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}$.
∵不论m为何值,$(m-2)^{2}\geq0$,
∴$b^{2}-4ac\geq0$,即该方程总有实数根.当m=0时,方程为-2x+2=0,解得x=1,即m=0时,该方程也有实数根.综上可知,不论m为何值,该方程总有实数根.
(2)解:由题意知m≠0.解一元二次方程得$x=\frac{m+2\pm|m-2|}{2m}$,
∴$x_{1}=\frac{2}{m}$,$x_{2}=1$.
∵该方程有两个正整数根,
∴m=1或m=2.
∵该方程有两个不相等的正整数根,
∴$(m-2)^{2}\neq0$,即m=2不合题意,
∴m=1.