《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

1. (2024·南通期末)【任务主题】某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”.
【数据信息】A 超市和 B 水果店售卖同品种西瓜.
信息 1:A 超市西瓜的售价为 4 元/千克,无论购买多少均不打折;
信息 2:B 水果店西瓜的售价为 5 元/千克,若一次购买 3 千克以上,超过 3 千克的部分打折扣销售;
信息 3:B 水果店销售西瓜的部分小票统计如下表(精确到 1 千克):

【解决问题】
(1)请分别写出在 A 超市与 B 水果店购买西瓜的付款金额 y(元)与购买量 x(千克)之间的函数关系式;
(2)某酒店承办活动需购买一批西瓜,请通过计算说明选择哪家更合算;
(3)已知西瓜的进货成本为 3 元/千克,市场调研发现:如果 A 超市以 4 元/千克销售,平均每天可以售出 200 千克. 为了减少库存,超市决定降价销售,近期销售情况显示:销售单价每降低 0.1 元,销售量就会增加 20 千克. 在尽可能减少库存的情况下,该超市将售价定为多少元/千克时,每天的销售利润为 168 元?

答案：
(1)解：A超市：由信息1得，$y = 4x$（$x\geq0$）。
B水果店：当$0\leq x\leq3$时，$y = 5x$；
当$x＞3$时，设超过3千克部分折扣为$a$，由购买4千克付款18.5元，得$5×3 + 5a(4 - 3)=18.5$，解得$a = 0.7$，即超过部分单价为$5×0.7 = 3.5$元/千克，所以$y = 15 + 3.5(x - 3)=3.5x + 4.5$。
综上，B水果店：$y=\begin{cases}5x(0\leq x\leq3)\\3.5x + 4.5(x＞3)\end{cases}$。
(2)解：当$0\leq x\leq3$时，A超市$y = 4x$，B水果店$y = 5x$，$4x＜5x$，选A超市。
当$x＞3$时，令$4x=3.5x + 4.5$，解得$x = 9$；
$4x＞3.5x + 4.5$时，$x＞9$；$4x＜3.5x + 4.5$时，$x＜9$。
综上，购买量小于9千克选A超市，等于9千克均可，大于9千克选B水果店。
(3)解：设售价定为$m$元/千克，利润$w=(m - 3)[200 + 20×\frac{4 - m}{0.1}]$。
化简得$w=(m - 3)(1000 - 200m)= - 200m^{2}+1600m - 3000$。
令$w = 168$，即$-200m^{2}+1600m - 3000 = 168$，
$200m^{2}-1600m + 3168 = 0$，$25m^{2}-200m + 396 = 0$，
解得$m_{1}=3.6$，$m_{2}=4.4$（舍，因降价且减少库存，选较低价），
所以售价定为3.6元/千克。