《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,D是$\overset{\frown}{AC}$上一点,且∠DAC= ∠DBA,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
(1)求证：BD平分∠CBA；
(2)连接CD,若CD= 5,BD= 12,求⊙O的半径.

答案：
(1)证明:
∵∠DAC=∠DBC,∠DAC=∠DBA,
∴∠DBA=∠CBD,
∴BD平分∠CBA.
(2)解:
∵∠CBD=∠DBA,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴AD=CD.
∵CD=5,
∴AD=5.
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°.
∵BD=12,
∴$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=13$,
∴⊙O的半径为6.5.

9. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且AC⊥BD,垂足为E,AF是⊙O的直径.
(1)∠BAF和∠CAD相等吗？为什么？
(2)过圆心O作OH⊥AB,垂足为H,若OH= 5,求CD的长.

答案：
解:
(1)如答图，连接BF.
∵AF是⊙O的直径，
∴∠F+∠BAF=90°.
∵AC⊥BD,
∴∠CAD+∠BDA=90°.
∵∠F=∠BDA,
∴∠BAF=∠CAD.
(2)
∵OH⊥AB,
∴AH=BH.
∵OA=OF,
∴BF=2OH=10.
∵∠BAF=∠CAD,
∴CD=BF=10.