《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

11.(12分)如图,在△ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,连接DE.
(1)求证:E是BC的中点;
(2)若∠C= 70°,求∠BOD的度数.

答案：

(1)证明:如答图，连接AE.
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BC.
∵AB=AC,
∴E是BC的中点.
　　　　　　　
(2)解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=70°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°.
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOD,
∴∠BOD=80°.

12.(14分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB.
(1)试说明DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小;
(2)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F,若AC= AD,BF= 2,求此圆的半径.

答案： 解:
(1)
∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB,
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°−90°=90°.
(2)
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°,
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵AC=AD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ADC=60°.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°.
∵CF//AD,
∴∠F+∠BAD=180°,
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°,
∴∠FBC=∠ADC=60°,
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,
∴BC=$\frac{1}{2}$BD.
∵BD是圆的直径，
∴此圆的半径是4.

13.(14分)(2024·江宁区月考)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AB与CD相交于点E,连接AC,AD,AC= AD.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若AC= 4$\sqrt{5}$,CD= 8,求⊙O的半径.

答案：

(1)证明:
∵AC=AD,
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$.
∵AB是⊙O的直径,
∴$\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$,
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$,
∴∠BAC=∠BAD,
∴AB⊥CD.
(2)解:如答图，连接OC.
　　　　　　　　
　设⊙O的半径为r.
∵CD=8,AB⊥CD,
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4.
　在Rt△ACE中,由勾股定理,得AE=$\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-4^{2}}=8$,
∴OE=AE−OA=8−r.
　在Rt△OCE中,由勾股定理,得$OE^{2}+CE^{2}=OC^{2}$,
　即$(8−r)^{2}+4^{2}=r^{2}$,解得r=5,
∴⊙O的半径是5.