《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

9.(2024·宝应一模)如图,在四边形材料ABCD中,AD//BC,∠A= 90°,AD= 9cm,AB= 20cm,BC= 24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是8cm.

答案： 8

10.(12分)(2024·镇江一模)如图,等腰三角形ABC内接于⊙O,AB= AC,点I是△ABC的内心,连接BI并延长交⊙O于点D,点E在BD的延长线上,满足∠EAD= ∠CAD.
求证：(1)OA所在的直线经过点I；
(2)D是IE的中点.

答案：
证明:
(1)如答图，连接OA,OB,OC,AI.
∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,
∴AO平分∠BAC.
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC,
∴AO与AI在同一条直线上,
∴OA所在的直线经过点I.　　　　　　　
(2)如答图，连接OD,则OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴2∠OAD+∠AOD=180°,
∴∠OAD+$\frac{1}{2}$∠AOD=90°.
∵∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD,
∴∠OAD+∠ABD=90°.
∵∠ABD=∠CBD=∠CAD,∠EAD=∠CAD,
∴∠ABD=∠EAD,
∴∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°.
∵∠DIA=∠ABD+∠BAO=∠CAD+∠CAO=∠DAI,
∴ID=AD.
∵∠DIA+∠E=90°,∠DAI+∠DAE=90°,
∴∠E=∠DAE,
∴ED=AD,
∴ID=ED,
∴D是IE的中点

11.(14分)(2024·广陵区一模)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作DE//AB,交CB的延长线于点E.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)若AC= 3√2,BC= √2,求BD,CD的长.

答案：

(1)证明:连接OD,如答图.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AOD=∠BOD=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴OD⊥AB.
∵DE//AB,
∴OD⊥DE;
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线.　　　　　　　
(2)解:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∵AC=$3\sqrt{2}$,BC=$\sqrt{2}$,
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{5}$.
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D,
∴∠ACD=∠BCD,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$.如答图，过点B作BH⊥CD于点H.
∵∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=1,
∴DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=3$,
∴CD=CH+DH=1+3=4.

12.(14分)(2024·盐城二模)如图,AB是⊙O的直径,点D,E在⊙O上,连接AE,ED,DA,连接BD并延长至点C,使得∠DAC= ∠AED.
(1)求证：AC是⊙O的切线.
(2)若E是⌢BD的中点,AE与BC交于点F.
①求证：CA= CF；
②若⊙O的半径为3,BF= 2,求AC的长.

答案：
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DBA+∠DAB=90°.
∵∠DEA=∠DBA,∠DAC=∠DEA,
∴∠DBA=∠DAC,
∴∠DAC+∠DAB=90°.
∵AB是⊙O的直径,∠CAB=90°,
∴AC是⊙O的切线.
(2)①证明:
∵E是$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴∠BAE=∠DAE.
∵∠CFA=∠DBA+∠BAE,∠CAF=∠DAC+∠DAE,∠DBA=∠DAC,
∴∠CFA=∠CAF,
∴CA=CF.②解:设CA=CF=x,则BC=CF+BF=x+2.
∵⊙O的半径为3,
∴AB=6.在Rt△ABC中,CA²+AB²=BC²,即x²+6²=(x+2)²,解得x=8,
∴AC的长为8.