《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

7.(扬州三模)如图,点A,B,C在$\odot O$上,连接AC,$\odot O$的半径为3,$∠AOC= ∠ABC$,则弦AC的长为______3√3.

答案： 3√3

8.点A,B,C在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的$\sqrt {2}$倍,则$∠ACB$的度数是45°或135°.

答案： 45°或135°

9.如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若$∠ABC= 64^{\circ }$,则$∠BAE$的度数为______52°.

答案： 52°

10.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BC是$\odot O$的直径,$BC= 2CD$,则$∠BAD$的度数是______120°.

答案： 120°

11.(2024秋·东台月考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,D是$\widehat {AC}$的中点,延长BC到点E,使$CE= AB$,连接BD,ED.
(1)求证:$BD= ED$;
(2)若$∠ABC= 60^{\circ },AD= 5$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,即AD=DC.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠ECD+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠ECD.
　在△ABD和△CED中,$\begin{cases} AB=CE, \\ ∠BAD=∠ECD, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED(SAS),
∴BD=ED.
(2)解:如答图，连接DO并延长交⊙O于点F,连接CF,则∠FCD=90°.
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ABD=∠CBD,AD=CD=5.
∵∠ABC=60°,
∴∠CBD=30°,
∴∠F=∠CBD=30°,
∴DF=2CD=10,
∴⊙O的半径为5.
　　　　　　

12.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,F是CD延长线上的一点,且DA平分$∠BDF$.
(1)求证:$AB= AC$;
(2)若$AB= 13,BC= 10$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:
∵DA平分∠BDF,
∴∠ADF=∠ADB.
　
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADF=180°,
∴∠ADF=∠ABC;
　
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
(2)解:如答图，过点A作AG⊥BC于点G,连接OC;
　　　　　　　　　
　
∵AB=AC,
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=5,
　
∴AG=$\sqrt{AB^2 - BG^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$,AG垂直平分BC.
　
∵OB=OC,
∴圆心O在BC的垂直平分线AG上,
　
∴OG⊥BC.
　　设⊙O的半径为r.
　　在Rt△OBG中,由勾股定理,
　　得OB²=OG²+BG²,
　　即$r^2=(12 - r)^2+5^2$,解得$r=\frac{169}{24}$.
　
∴⊙O的半径为$\frac{169}{24}$.