《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

11. (2024·姜堰区期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}+1= 0.$
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)如果方程的两根之和等于两根之积,求k的值.

答案： 解:
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴$b^{2}-4ac=(2k-1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0$,解得$k＜-\frac{3}{4}$.
∴k的取值范围是$k＜-\frac{3}{4}$.
(2)由题知,该方程的两根之和为-2k+1,两根之积为$k^{2}+1$.
∵方程的两根之和等于两根之积,
∴-2k+1=$k^{2}+1$,解得$k_{1}=0$,$k_{2}=-2$.
∵当$k\leq-\frac{3}{4}$时,方程有实数根,
∴k=0舍去,
∴k=-2.

12. (2024·内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1= 0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}x_{2}=$1;
(2)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}}$的值;解:∵$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,
∴$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,
∴$x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,∴$x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1$,求p的值.解:∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$.
∵$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,
∴$p^{2}-2=2p+1$,解得$p_{1}=3$,$p_{2}=-1$.
当p=3时,$p^{2}-4=9-4=5＞0$;
当p=-1时,$p^{2}-4=-3＜0$,不合题意.
∴p=3.

答案：
(1)p 1
(2)解:
∵$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,
∴$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,
∴$x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$,
∴$x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3)解:
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$.
∵$x_{1}+x_{2}=p$,$x_{1}x_{2}=1$,
∴$p^{2}-2=2p+1$,解得$p_{1}=3$,$p_{2}=-1$.
当p=3时,$p^{2}-4=9-4=5＞0$;
当p=-1时,$p^{2}-4=-3＜0$,不合题意.
∴p=3.

13. (锡山区四模)已知$α,β(α＞β)是一元二次方程x^{2}-x-1= 0$的两个实数根,$s_{1}= α+β,s_{2}= α^{2}+β^{2},...,s_{n}= α^{n}+β^{n}.$
(1)直接写出$s_{1},s_{2}$的值:$s_{1}=$1,$s_{2}=$3;
(2)经计算可得$s_{3}= 4,s_{4}= 7,s_{5}= 11$,当$n≥3$时,请猜想$s_{n},s_{n-1},s_{n-2}$之间满足的数量关系,并给出证明.
解:猜想$S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}$.证明如下:
根据题意,得$\alpha^{2}-\alpha-1=0$,
两边都乘$\alpha^{n-2}$,得$\alpha^{n}-\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}=0$. ①
同理,$\beta^{n}-\beta^{n-1}-\beta^{n-2}=0$. ②
①+②,得$(\alpha^{n}+\beta^{n})-(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})-(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})=0$.
因为$S_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$,$S_{n-1}=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}$,$S_{n-2}=\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}$,
所以$S_{n}-S_{n-1}-S_{n-2}=0$,即$S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}$.

答案：
(1)1 3
(2)解:猜想$S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}$.证明如下:
根据题意,得$\alpha^{2}-\alpha-1=0$,
两边都乘$\alpha^{n-2}$,得$\alpha^{n}-\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}=0$. ①
同理,$\beta^{n}-\beta^{n-1}-\beta^{n-2}=0$. ②
①+②,得$(\alpha^{n}+\beta^{n})-(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})-(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})=0$.
因为$S_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$,$S_{n-1}=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}$,$S_{n-2}=\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}$,
所以$S_{n}-S_{n-1}-S_{n-2}=0$,即$S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}$.