《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

7.(张家港模拟)如图,$△ABC内接于\odot O$,AD是$\odot O$的直径.若$∠CAD= ∠B,AD= 8$,则AC的长为 (B)

A.5
B.$4\sqrt {2}$
C.$5\sqrt {2}$
D.$4\sqrt {3}$

答案： B

8.(2024·武进区模拟)如图,在$\odot O$中,AB为直径,C为圆上一点,$∠BAC的平分线与\odot O$交于点D.若$∠ADC= 15^{\circ }$,则$∠BAD$的度数是______37.5°.

答案： 37.5°

9.如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },∠A= 32^{\circ }$,点B,C在$\odot O$上,边AB,AC分别交$\odot O$于点D,E.若B是$\widehat {CD}$的中点,则$∠ABE$的度数是______13°.

答案： 13°

10.如图,AB是$\odot O$的弦,$AB= 4$,C是$\odot O$上的一个动点,且$∠ACB= 45^{\circ }$.若M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

11.如图,$△ABC内接于\odot O$,AB为直径,$∠CBA$的平分线交AC于点F,交$\odot O$于点D,$DE⊥AB$于点E,且交AC于点P,连接AD.
求证:(1)$PD= AP$;
(2)P是线段AF的中点.

答案： 证明:
(1)
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠ABD+∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠ABD.
∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠ABD.
∵∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠ABD.
∴∠ADE=∠DAC,
∴PD=PA.
(2)
∵∠ADB=90°,
∴∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°.
∵∠ADE=∠DAC,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF;
∵PD=PA,
∴PA=PF,即P是线段AF的中点.

12.如图,以$△ABC$的一边AB为直径的半圆与边AC,BC的交点分别为点D,E,且$\widehat {DE}= \widehat {BE}$.
(1)试判断$△ABC$的形状,并说明理由;
(2)已知半圆的半径为5,$BC= 12$,求BD的长.

答案： 解:
(1)△ABC为等腰三角形.理由如下:如答图，连接AE.
∵DE=BE,
∴∠DAE=∠BAE,即AE平分∠BAC;
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∴AC=AB,
∴△ABC为等腰三角形
(2)
∵△ABC为等腰三角形,AE⊥BC,
∴BE=CE=1/2BC=1/2×12=6.在Rt△ABE中，
∵AB=10,BE=6，
∴AE=√10² - 6²=8.
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴1/2AE·BC=1/2BD·AC，
∴BD=8×12/10 = 48/5.