《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 若关于 x 的方程$x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}-2 = 0的两个根分别为x_{1}和x_{2}$,且$(x_{1}-2)(x_{1}-x_{2}) = 0$,则 k 的值是-2或-9/4.

答案： -2或-9/4

9. 已知方程$x^{2}+2(m - 2)x + m^{2}+4 = 0$有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大 40,求 m 的值.

答案： 解:设方程x²+2(m-2)x+m²+4=0的两个实数根分
别为x₁,x₂,则x₁+x₂=-2(m-2),x₁x₂=m²+4.
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=(x₁+x₂)²-3x₁x₂=40,
∴[-2(m-2)]²-3(m²+4)=40,
整理,得m²-16m-36=0,解得m₁=-2,m₂=18.
∵方程x²+2(m-2)x+m²+4=0有两个实数根,
∴b²-4ac=[2(m-2)]²-4(m²+4)=-16m≥0,
解得m≤0,
∴m的值为-2.

10. 若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8,边 CD 的长是方程$x^{2}-10x + 24 = 0$的一个根,则菱形 ABCD 的周长为24.

答案： 24

11. 若$\triangle ABC$的边 BC 的长为 5,另两条边 AB,AC 的长是关于 x 的一元二次方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$的两个实数根. 当$\triangle ABC$是直角三角形时,求 k 的值.

答案： 解:方程x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0可变形为
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0,
解得x₁=k+1,x₂=k+2,
即AB,AC的长分别为k+1,k+2.
当△ABC是直角三角形时,有以下情况:
当AB²+AC²=BC²时,有(k+1)²+(k+2)²=5²,
解得k₁=2,k₂=-5(不合题意,舍去);
当AB²+BC²=AC²时,有(k+1)²+5²=(k+2)²,
解得k=11.
综上所述,当△ABC是直角三角形时,k的值为2或11.

12. 等腰三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c,其中$a = 5$. 若关于 x 的方程$x^{2}+(b + 2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解:
∵关于x的方程x²+(b+2)x+6-b=0有两个相
等的实数根,
∴(b+2)²-4(6-b)=0,即b²+8b-20=0,
解得b₁=2,b₂=-10(不合题意,舍去).
当a为底,b为腰时,有2+2＜5,构不成三角形,此种情
况不成立;
当b为底,a为腰时,则5-2＜5＜5+2,能构成三角形,
此时△ABC的周长为5+5+2=12.
∴△ABC的周长是12.