《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

3. 【阅读材料】利用完全平方公式,将多项式 $x^{2}+bx + c$ 变形为 $(x + m)^{2}+n$ 的形式,然后由 $(x + m)^{2}\geq0$ 就可求出多项式 $x^{2}+bx + c$ 的最小值. 将多项式 $-x^{2}+bx + c$ 变形为 $-(x + p)^{2}+q$ 的形式,然后由 $-(x + p)^{2}\leq0$ 就可求出多项式 $-x^{2}+bx + c$ 的最大值.
例 1 求 $x^{2}-12x + 37$ 的最小值.
解: $x^{2}-12x + 37 = x^{2}-2x\cdot6 + 6^{2}-6^{2}+37= (x - 6)^{2}+1$.
$\because (x - 6)^{2}\geq0$,$\therefore (x - 6)^{2}+1\geq1$.
$\therefore$ 当 $x = 6$ 时,$x^{2}-12x + 37$ 有最小值,且最小值是 $1$.
例 2 求 $-x^{2}+2x + 3$ 的最大值.
解: $-x^{2}+2x + 3= -(x^{2}-2x + 1 - 1)+3= -(x - 1)^{2}+4$.
$\because (x - 1)^{2}\geq0$,$\therefore -(x - 1)^{2}\leq0$,$\therefore -(x - 1)^{2}+4\leq4$.
$\therefore$ 当 $x = 1$ 时,$-x^{2}+2x + 3$ 有最大值,且最大值是 $4$.
【解决问题】(1) $x^{2}+4x - 1$ 的最小值为-5；
(2)求 $-4x^{2}+16x$ 的最大值.解:-4x²+16x=-4(x²-4x+4-4)=-4(x-2)²+16.
∵(x-2)²≥0,∴-(x-2)²≤0,
∴-4(x-2)²≤0,∴-4(x-2)²+16≤16.
∴当x=2时,-4x²+16x有最大值,且最大值是16.

答案： 3.
(1)-5
(2)解:-4x²+16x=-4(x²-4x+4-4)=-4(x-2)²+16.
∵(x-2)²≥0,
∴-(x-2)²≤0,
∴-4(x-2)²≤0,
∴-4(x-2)²+16≤16.
∴当x=2时,-4x²+16x有最大值,且最大值是16.

4. (工业园区期中)【阅读材料】配方法是数学中很重要的一种思想方法. 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 我们定义: 若一个整数能表示成 $a^{2}+b^{2}$ ($a$,$b$ 是整数)的形式,则称这个数是“完美数”. 如因为 $5 = 2^{2}+1^{2}$,所以 $5$ 是“完美数”.
【解决问题】(1) $53$是“完美数”；(填“是”或“不是”)
【探究问题】(2)已知 $x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 5 = 0$,则 $x + y=$1；
(3)已知 $S = 2x^{2}+y^{2}+2xy + 12x + k$ ($x$,$y$ 是整数,$k$ 是常数),要使 $S$ 是“完美数”,试求出符合条件的 $k$ 值,并说明理由；
解:当k=36时,S是"完美数".理由如下:
S=2x²+y²+2xy+12x+k
=(x²+12x+k)+(y²+2xy+x²)
=(x²+12x+k)+(y+x)².
∵S是"完美数",∴x²+12x+k是完全平方式,∴k=36.
【拓展结论】(4)已知实数 $x$,$y$ 满足 $-x^{2}+\frac{7}{2}x + y - 3 = 0$,求 $x - 2y$ 的最大值.
解:∵-x²+$\frac{7}{2}$x+y-3=0,
∴-y=-x²+$\frac{7}{2}$x-3,即-2y=-2x²+7x-6,
∴x-2y=x-2x²+7x-6=-2x²+8x-6=-2(x²-4x+4)+2=-2(x-2)²+2.
当x=2时,x-2y的值最大,最大值为2.

答案： 4.
(1)是
(2)1
(3)解:当k=36时,S是"完美数".理由如下:
S=2x²+y²+2xy+12x+k
=(x²+12x+k)+(y²+2xy+x²)
=(x²+12x+k)+(y+x)².
∵S是"完美数",
∴x²+12x+k是完全平方式,
∴k=36.
(4)解:
∵-x²+$\frac{7}{2}$x+y-3=0,
∴-y=-x²+$\frac{7}{2}$x-3,即-2y=-2x²+7x-6,
∴x-2y=x-2x²+7x-6=-2x²+8x-6=-2(x²-4x+4)+2=-2(x-2)²+2.
当x=2时,x-2y的值最大,最大值为2.