《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

6. (2024·鼓楼区期末)古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题,欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^{2}+bx = m^{2}(b\gt0,m\gt0)$的方程的图解法：如图,画$Rt\triangle ABC$,使$∠ACB = 90^{\circ}$,$BC= \frac{b}{2}$,$AC = m$,再在斜边$AB上截取BD= \frac{b}{2}$,则该方程的一个正实数根等于(A)


A.$AD$的长
B.$AC$的长
C.$BC$的长
D.$CD$的长

答案： A

7. (2024·江阴模拟)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 16cm$,$BC = 6cm$,动点$P$,$Q分别以3cm/s$,$2cm/s的速度从点A$,$C$同时出发,沿规定路线移动。
(1)若点$P沿着AB$移动,当点$P到达点B$时,$P$,$Q$两点停止移动。经过多长时间,$P$,$Q两点之间的距离是10cm$？
(2)若点$P沿着AB→BC→CD$移动,当点$Q到达点D$时,$P$,$Q$两点停止移动。试探求经过多长时间,$\triangle PBQ的面积为12cm^{2}$。

答案：
(1)过点P作PE⊥CD于点E.
　设x s后，P,Q两点之间的距离是10 cm.
　根据题意,得(16 - 2x - 3x)² + 6² = 10².
　解得x₁ = $\frac{8}{5}$，x₂ = $\frac{24}{5}$.
　答:经过$\frac{8}{5}$ s或$\frac{24}{5}$ s，P,Q两点之间的距离是10 cm.
(2)连接BQ.设经过y s后，△PBQ的面积为12 cm².
当0 ≤ y ＜ $\frac{16}{3}$时，PB = 16 - 3y.
　则$\frac{1}{2}$PB·BC = 12，即$\frac{1}{2}$×(16 - 3y)×6 = 12.
　解得y = 4.
当$\frac{16}{3}$ ≤ y ≤ $\frac{22}{3}$时，BP = 3y - 16，QC = 2y.
　则$\frac{1}{2}$BP·CQ = 12，即$\frac{1}{2}$(3y - 16)×2y = 12.
　解得y₁ = 6，y₂ = -$\frac{2}{3}$(不合题意，舍去).
当$\frac{22}{3}$ ＜ y ≤ 8时，QP = CQ - PC = 22 - y.
　则$\frac{1}{2}$QP·CB = 12，即$\frac{1}{2}$(22 - y)×6 = 12.
　解得y = 18，不合题意，舍去.
　综上所述，经过4 s或6 s，△PBQ的面积为12 cm².

8. (常州一模)如图,$\triangle ABC是边长为3cm$的等边三角形,动点$P$,$Q同时从A$,$B$两点出发,分别沿$AB$,$BC$的方向匀速移动,它们的速度都是$1cm/s$,当点$P到达点B$时,$P$,$Q$两点停止运动。设点$P的运动时间为t s$,解答下列问题：
(1)当$t$为何值时,$\triangle PBQ$是直角三角形？
(2)是否存在某一时刻$t$,使得四边形$APQC的面积是\triangle ABC面积的\frac{2}{3}$？如果存在,求出相应的$t$值；如果不存在,说明理由。

答案：

(1)根据题意，知AP = t cm，BQ = t cm.
　在△ABC中，AB = BC = 3 cm，∠B = 60°.
∴BP = (3 - t)cm.
　在△PBQ中，BP = (3 - t)cm，BQ = t cm.
　若△PBQ是直角三角形，则∠BQP = 90°或∠BPQ = 90°.
当∠BQP = 90°时，BQ = $\frac{1}{2}$BP.
　即t = $\frac{1}{2}$(3 - t)，解得t = 1.
当∠BPQ = 90°时，BP = $\frac{1}{2}$BQ，即3 - t = $\frac{1}{2}$t，解得t = 2.
综上所述，当t = 1或t = 2时，△PBQ是直角三角形.
(2)不存在.理由如下:
如答图，过点P作PM⊥BC于点M.
　　　　　　　
在△BPM中，PM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$PB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$(3 - t)cm.
∴S△PBQ = $\frac{1}{2}$BQ·PM = $\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$(3 - t).
∴S四边形APQC = S△ABC - S△PBQ = $\frac{1}{2}$×3²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$(3 - t) = $\frac{\sqrt{3}}{4}$t² - $\frac{3\sqrt{3}}{4}$t + $\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$，则S四边形APQC = $\frac{2}{3}$S△ABC.
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$t² - $\frac{3\sqrt{3}}{4}$t + $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×3²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
即t² - 3t + 3 = 0.
∵(-3)² - 4×1×3 ＜ 0，
∴方程无解.
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的$\frac{2}{3}$.