《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

1. (2024·泗阳县期末)下列是一元二次方程的是 (B)
A.$2x + 3 = 1$
B.$x^{2}+2x - 3 = 0$
C.$2x + 3y = 2$
D.$x+\frac{1}{x}= 1$

答案： B

2. 将一元二次方程 $2x^{2}-3x + 1 = 0$ 化为 $(x + a)^{2}= b$ 的形式,正确的是 (C)
A.$(x-\frac{3}{2})^{2}= 16$
B.$2(x-\frac{3}{4})^{2}= \frac{1}{16}$
C.$(x-\frac{3}{4})^{2}= \frac{1}{16}$
D.$(x+\frac{3}{4})^{2}= \frac{1}{16}$

答案： C

3. (2024·南通模拟)若等腰三角形三边长分别为 $a,b,4$,且 $a,b$ 是一元二次方程 $x^{2}-12x + k + 2 = 0$ 的两个根,则 $k$ 的值为 (D)
A.30
B.34 或 30
C.36 或 30
D.34

答案： D

4. (2024·鼓楼区模拟)若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两根之和为 $p$,两根之积为 $q$,则关于 $y$ 的方程 $a(y - 2)^{2}+b(y - 2)+c = 0$ 的两根之积是 (A)
A.$2p + q + 4$
B.$2p - q + 4$
C.$q - 2p + 4$
D.$q - 2p - 4$

答案： A

5. (2024·启东月考)若方程 $(m + 1)x^{|m - 1|}+2x - 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,则 $m$ 的值为3.

答案： 3

6. (2024·启东月考)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}+2mx + m + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是______m＜1.5且m≠1.

答案： m＜1.5且m≠1

7. (2024·盱眙县模拟)已知 $a,b$ 是方程 $x^{2}+3x + 1 = 0$ 的两个根,则 $a^{2}+4a + b - 3= $-7.

答案： -7

8. (2024春·南京期末)代数式 $m^{2}+6m + 10$ 的最小值为1.

答案： 1

9. 用适当的方法解下列方程:
(1) $(3 - x)^{2}= 5$; (2) $x^{2}+2\sqrt{3}x + 3 = 0$; (3) $x(x - 1)= 3 - 3x$.

答案： 解:
(1)原方程可变形为(x-3)²=5，即x-3=±√5，
∴x₁=3+√5，x₂=3-√5.
(2)原方程可变形为(x+√3)²=0，
∴x₁=x₂=-√3.
(3)原方程可变形为x(x-1)+3(x-1)=0，即(x-1)(x+3)=0，
∴x-1=0或x+3=0，
∴x₁=1，x₂=-3.

10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2k + 1)x + 4(k-\frac{1}{2})= 0$.
(1) 求证:无论 $k$ 取何值,此方程总有实数根;
(2) 若 $x = 1$ 是这个方程的一个根,求 $k$ 的值和它的另一个根;
(3) 若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a = 4$,另外两边长 $b,c$ 恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长.

答案：
(1)证明:
∵b²-4ac=[-(2k+1)]²-4×1×4(k-1/2)=4(k-3/2)²≥0，
∴方程有实数根.即无论k取何值，此方程总有实数根.
(2)解:若x=1是这个方程的一个根，则1-(2k+1)+4(k-1/2)=0，解得k=1.
∴关于x的方程为x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，
∴方程的另一个根是x=2.
(3)解:当a为底边长时，b，c为腰长，且b=c，则4(k-3/2)²=0，解得k=3/2.此时原方程化为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，即b=c=2.此时三边长分别为4，2，2，不能构成三角形；当a，b为腰长时，c为底边长，或a，c为腰长，b为底边长，此时x=4是方程的根，即16-4(2k+1)+4(k-1/2)=0，解得k=5/2，
∴关于x的方程为x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，
∴c=2或b=2.
∴等腰三角形ABC的周长为4+4+2=10.