《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

9. 如图,$AB是\odot O$的弦,$C是优弧\overset{\frown}{AB}$上的动点(点$C不与点A,B$重合),$CH⊥AB$,垂足为$H,M是BC$的中点.若$\odot O的半径是3$,则$MH$长的最大值是 (A)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： A

10. 如图,点$A,D,G,M在半圆O$上,四边形$ABOC,DEOF,HMNO$均为矩形,设$BC= a,EF= b,NH= c$,则$a,b,c$的大小关系是$a=b=c$.

答案： $a=b=c$

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠B= 70^{\circ }$,以点$C$为圆心,$CA$长为半径作弧,交直线$BC于点P$,连接$AP$,则$∠BAP$的度数是$15^{\circ}$或$75^{\circ}$.

答案： $15^{\circ}$或$75^{\circ}$

12. 如图,已知正方形$ABCD在\odot O$的内部,顶点$B,C$在圆上,$A,D$在直径上.
(1)$OA与OD$相等吗? 为什么?
(2)在正方形$ABCD右侧再作一个小正方形EDGF$,且点$F在\odot O$上,若正方形$ABCD的边长为4$,求正方形$EDGF$的边长.

答案：
解:
(1)$OA=OD$.理由如下:
　连接OB,OC,如答图.
　　　　　　　
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
　$\therefore \angle BAO=\angle CDO=90^{\circ},AB=DC.$
　又$\because OB=OC,\therefore Rt\triangle ABO\cong Rt\triangle DCO(HL),$
　$\therefore OA=OD.$
(2)$\because AD=4,\therefore OD=2,OC=2\sqrt{5}$
　如答图，连接OF，设正方形EDGF的边长为x.
　在$Rt\triangle OGF$中,$FG^{2}+OG^{2}=OF^{2},$
　即$x^{2}+(x+2)^{2}=(2\sqrt{5})^{2},$
　解得$x_{1}=2,x_{2}=-4$(不合题意,舍去),
　$\therefore$ 正方形EDGF的边长为2.

13. 如图,$E是菱形ABCD$内一点,$∠BEC= 90^{\circ },DF⊥CE$,垂足为$F$,且$DF= CE$,连接$AE$.
(1)求证:菱形$ABCD$是正方形;
(2)当$F是线段CE$的中点时,求证:点$F在以AB为半径的\odot A$上.

答案：
证明:
(1)$\because DF\perp CE,\therefore \angle CFD=90^{\circ},$
　$\therefore \angle CDF+\angle FCD=90^{\circ}.$
　$\because \angle BEC=90^{\circ},\therefore \angle BEC=\angle CFD.$
　$\because$ 四边形ABCD为菱形，$\therefore BC=CD.$
　在$Rt\triangle BCE$和$Rt\triangle CDF$中,$\left\{\begin{array}{l} BC=CD,\\ CE=DF,\end{array}\right.$
　$\therefore Rt\triangle BCE\cong Rt\triangle CDF(HL),\therefore \angle BCE=\angle CDF;$
　$\because \angle CDF+\angle FCD=90^{\circ},\therefore \angle BCE+\angle FCD=90^{\circ},\therefore \angle BCD=90^{\circ},\therefore$ 菱形ABCD为正方形.
(2)如答图，连接AF,ED.
　　　　　　　
　$\because$ 四边形ABCD为正方形，$\therefore \angle ADC=90^{\circ},AD=CD.$
　$\because$ F为CE的中点,$DF\perp CE,$
　$\therefore$ DF是CE的垂直平分线,$\therefore DE=DC=AD,$
　$\therefore \angle DAE=\angle DEA,\angle DEC=\angle DCE.$
　$\because \angle DAE+\angle DEA+\angle ADE=180^{\circ},\angle DEC+\angle DCE+\angle CDE=180^{\circ},$
　$\therefore \angle AED=\frac{180^{\circ}-\angle ADE}{2},\angle DEC=\frac{180^{\circ}-\angle CDE}{2},$
　$\therefore \angle AEF=\angle AED+\angle DEC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ADE+\angle CDE)=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ},$
　$\therefore \angle AEB=360^{\circ}-135^{\circ}-90^{\circ}=135^{\circ},\therefore \angle AEF=\angle AEB.$
　$\because \triangle BCE\cong \triangle CDF,\therefore BE=CF=FE.$
　在$\triangle ABE$和$\triangle AFE$中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AE,\\ \angle AEB=\angle AEF,\\ EB=EF,\end{array}\right.$
　$\therefore \triangle ABE\cong \triangle AFE(SAS),\therefore AB=AF,$
　$\therefore$ 点F在以AB为半径的$\odot A$上.