《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版徐州专版》

10.(10 分)(2024·南充)已知$x_{1}$,$x_{2}是关于x的方程x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k ＜ 5$,且$k$,$x_{1}$,$x_{2}$都是整数,求$k$的值。

答案： 解:
(1)
∵原方程有两个不相等的实数根,$\therefore b^{2}-4ac＞0$,
$\therefore (-2k)^{2}-4×1×(k^{2}-k+1)=4k^{2}-4k^{2}+4k-4=4k-4＞0$,解得$k＞1$.
(2)$\because 1＜k＜5$,
∴整数k的值为2,3,4.
当$k=2$时,方程为$x^{2}-4x+3=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=3$.
当$k=3$或$k=4$时,方程的解不是整数.
综上所述,k的值为2.

11.(10 分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(m + 4)x - 2m - 12 = 0$。
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程的两个实数根相等,求此时方程的根。

答案：
(1)证明:$\because b^{2}-4ac=(m+4)^{2}-4×1×(-2m-12)=m^{2}+8m+16+8m+48=m^{2}+16m+64=(m+8)^{2}\geq0$,
∴方程总有两个实数根.
(2)解:根据题意,得$(m+8)^{2}=0$,解得$m=-8$,
此时方程为$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2$.

12.(12 分)(2024·遂宁)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$。
(1)求证：无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求$m$的值。

答案：
(1)证明:方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$中$a=1$,$b=-(m+2)$,$c=m-1$.
$\because b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$,又$m^{2}\geq0$,$\therefore m^{2}+8＞0$,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:
∵方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}=m+2$,$x_{1}x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$,
$\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$,整理,得$m^{2}+m-2=0$,即$(m+2)(m-1)=0$,解得$m_{1}=-2$,$m_{2}=1$.
∴m的值为-2或1.

13.(18 分)(常州模拟)阅读材料并解决问题。
材料：已知实数$m$,$n满足m^{2}-m - 1 = 0$,$n^{2}-n - 1 = 0$,且$m≠n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
解：由题意知,$m$,$n是方程x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根,则$m + n = 1$,$mn = - 1$,
$\therefore\frac{n}{m}+\frac{m}{n}= \frac{m^{2}+n^{2}}{mn}= \frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}= \frac{1 + 2}{-1}= -3$。
根据上述材料解决下面的问题：
(1)若一元二次方程$5x^{2}+10x - 1 = 0的两根分别为x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $-2,$x_{1}x_{2}= $$-\frac{1}{5}$；
(2)已知实数$m$,$n满足3m^{2}-3m - 1 = 0$,$3n^{2}-3n - 1 = 0$,且$m≠n$,求$m^{2}n + mn^{2}$的值；
解:∵m,n满足$3m^{2}-3m-1=0$,$3n^{2}-3n-1=0$,且$m≠n$,
∴m,n是$3x^{2}-3x-1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+n=1$,$mn=-\frac{1}{3}$,
$\therefore m^{2}n+mn^{2}=mn(m+n)=-\frac{1}{3}×1=-\frac{1}{3}$.
(3)已知实数$p$,$q满足p^{2}= 7p - 2$,$2q^{2}= 7q - 1$,且$p≠2q$,求$p^{2}+4q^{2}$的值。
解:由题意知,p与2q为方程$x^{2}-7x+2=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore p+2q=7$,$2pq=2$,
$\therefore p^{2}+4q^{2}=(p+2q)^{2}-4pq=7^{2}-2×2=45$.

答案：
(1)-2 $-\frac{1}{5}$
(2)解:
∵m,n满足$3m^{2}-3m-1=0$,$3n^{2}-3n-1=0$,且$m≠n$,
∴m,n是$3x^{2}-3x-1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+n=1$,$mn=-\frac{1}{3}$,
$\therefore m^{2}n+mn^{2}=mn(m+n)=-\frac{1}{3}×1=-\frac{1}{3}$.
(3)解:由题意知,p与2q为方程$x^{2}-7x+2=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore p+2q=7$,$2pq=2$,
$\therefore p^{2}+4q^{2}=(p+2q)^{2}-4pq=7^{2}-2×2=45$.