《2025年一遍过七年级数学上册沪科版》

1 [2025 泉州期中]为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文 a,b,c,对应密文 $ a + 1 $, $ - a + 2b + 4 $, $ b + 3c + 9 $.若接收方收到密文 7,12,22,则解密得到的明文为 ( )

A.6,2,7
B.2,6,7
C.6,7,2
D.7,2,6

答案： 解：根据题意，得
$\begin{cases}a + 1 = 7 \\a + 2b + 4 = 12 \\b + 3c + 9 = 22\end{cases}$
由第一个方程，得 $a = 7 - 1 = 6$。
将 $a = 6$ 代入第二个方程，得 $-6 + 2b + 4 = 12$，解得 $2b = 14$，$b = 7$。
将 $b = 7$ 代入第三个方程，得 $7 + 3c + 9 = 22$，解得 $3c = 6$，$c = 2$。
所以明文为 $6$，$7$，$2$。
答案：C

2 [2025 潍坊期中]某市举行中学生足球联赛,比赛的计分规则为:胜 1 场得 3 分,平 1 场得 1 分,负 1 场得 0 分.某中学足球队在 12 场比赛中,平和负的场数之和等于胜的场数,共得 20 分.设该队在联赛中胜 x 场、平 y 场、负 z 场,则列三元一次方程组为 ______.

答案： 【解析】：
这是一个关于三元一次方程组的应用问题。
需要根据题目中的条件设立三个未知数$x, y, z$，分别代表胜的场数、平的场数和负的场数。
然后，根据题目给出的条件，可以列出以下三个方程：
第一个条件：平和负的场数之和等于胜的场数，即 $y + z = x$。
第二个条件：总场数为12场，即 $x + y + z = 12$。
第三个条件：总分数为20分，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，即 $3x + y = 20$。
将以上三个条件转化为数学方程，可以得到三元一次方程组：
$\left\{ \begin{array}{l}y + z = x, \\x + y + z = 12, \\3x + y = 20. \end{array} \right.$
【答案】：
$\left\{ \begin{array}{l}y + z = x, \\x + y + z = 12, \\3x + y = 20. \end{array} \right.$

3 教材 P127 例 3 变式 一个三位数,各个数位上的数字之和为 10,百位上的数字比十位上的数字大 1.若百位上的数字与个位上的数字对调,所得新数比原数的 3 倍还大 61,则原来的三位数是 ______.

答案： 【解析】：
本题主要考查三元一次方程组的应用。
设原来的三位数百位、十位、个位上的数字分别为$x$，$y$，$z$。
根据题意，我们可以列出以下三个方程：
各个数位上的数字之和为10，即：
$x + y + z = 10$
百位上的数字比十位上的数字大1，即：
$x = y + 1$
百位上的数字与个位上的数字对调后，新数比原数的3倍还大61。原数可以表示为$100x + 10y + z$，新数可以表示为$100z + 10y + x$，因此有：
$100z + 10y + x = 3(100x + 10y + z) + 61$
将这三个方程组合成一个三元一次方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 10 \\x = y + 1 \\100z + 10y + x = 3(100x + 10y + z) + 61\end{cases}$
接下来，我们解这个三元一次方程组。
首先，从第二个方程中解出$x$：
$x = y + 1$
然后，将这个结果代入第一个方程中，解出$z$：
$y + 1 + y + z = 10$
$2y + z = 9$
$z = 9 - 2y$
最后，将$x = y + 1$和$z = 9 - 2y$代入第三个方程中，解出$y$：
$100(9 - 2y) + 10y + (y + 1) = 3[100(y + 1) + 10y + (9 - 2y)] + 61$
解这个方程，我们得到：
$y = 2$
将$y = 2$代入$x = y + 1$和$z = 9 - 2y$，我们得到：
$x = 3$
$z = 5$
因此，原来的三位数是325。
【答案】：
325

4 若一个三角形的周长为 24,其中两条边的长度之和比第三条边的长度多 4,而它们的差是第三条边的长度的 $ \frac{1}{5} $,设其中两条边的长度分别为 x,y,则三角形中最短的一条边的长度为 ______.

答案： 【解析】：
本题主要考查三元一次方程组的应用。
设三角形的三条边分别为$x$，$y$，$z$，且假设$x \leq y$，即$x$为可能的最短边。
根据题意，三角形的周长为24，可以得到第一个方程：
$x + y + z = 24$，
两条边的长度之和比第三条边的长度多4，可以得到第二个方程：
$x + y - z = 4$，
两条边的长度之差是第三条边的长度的$\frac{1}{5}$，可以得到第三个方程：
$y - x = \frac{1}{5}z$，
联立上述三个方程，可以得到方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 24 \\x + y - z = 4 \\y - x = \frac{1}{5}z\end{cases}$，
解这个方程组，首先用第一个方程减去第二个方程得到：
$2z = 20 \implies z = 10$，
将$z = 10$代入第二个和第三个方程，得到：
$\begin{cases}x + y = 14 \\y - x = 2\end{cases}$，
解这个新的方程组，得到：
$\begin{cases}x = 6 \\y = 8\end{cases}$，
由于题目要求最短的一条边的长度，而$x \leq y$，所以最短的一条边的长度为$x = 6$。
【答案】：
6。

5 在春节来临之际,某购物商城推出 A,B,C 三种礼盒,若购买 A 礼盒 3 盒、B 礼盒 2 盒和 C 礼盒 2 盒,则需付人民币 2 200 元;若购买 A 礼盒 4 盒、B 礼盒 3 盒和 C 礼盒 5 盒,则需付人民币 3 150 元.李老板预计购买 A 礼盒 5 盒、B 礼盒 4 盒和 C 礼盒 8 盒,则共需付人民币 ______ 元.

答案： 解：设A礼盒单价为$x$元，B礼盒单价为$y$元，C礼盒单价为$z$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}3x + 2y + 2z = 2200 & (1) \\4x + 3y + 5z = 3150 & (2)\end{cases}$
$(2) - (1)$，得：$x + y + 3z = 950$ $(3)$
$(1) + (3)$，得：$4x + 3y + 5z = 3150$（此步可省略，直接观察目标式）
目标式为$5x + 4y + 8z$，可表示为$(4x + 3y + 5z) + (x + y + 3z)$
将$(2)$和$(3)$代入，得：$3150 + 950 = 4100$
答：共需付人民币4100元。

6 小明从家到学校的路程为 3.3 千米,其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果保持上坡路每小时行 3 千米,平路每小时行 4 千米,下坡路每小时行 5 千米,那么小明从家到学校用 1 小时,从学校到家要 44 分钟,求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米.

答案： 【解析】：
本题主要考查三元一次方程组的应用。
设小明家到学校上坡路为 $x$ 千米，平路为 $y$ 千米，下坡路为 $z$ 千米。
根据题意，小明从家到学校的总路程为 $x + y + z = 3.3$ 千米。
从家到学校，上坡路速度为3千米/小时，用时 $\frac{x}{3}$ 小时；
平路速度为4千米/小时，用时 $\frac{y}{4}$ 小时；
下坡路速度为5千米/小时，用时 $\frac{z}{5}$ 小时。
所以，从家到学校总用时为 $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$ 小时。
从学校到家，原来的上坡路变为下坡路，下坡路变为上坡路，平路不变。
所以，从学校到家上坡路用时 $\frac{z}{3}$ 小时，平路用时 $\frac{y}{4}$ 小时，下坡路用时 $\frac{x}{5}$ 小时。
总用时为 $\frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5} = \frac{44}{60} = \frac{11}{15}$ 小时。
因此，我们得到三元一次方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 3.3, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1, \\ \frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5} = \frac{11}{15}.\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}x = 2.25, \\y = 0.8, \\z = 0.25.\end{cases}$
【答案】：
小明家到学校的上坡路为 $2.25$ 千米，平路为 $0.8$ 千米，下坡路为 $0.25$ 千米。

7 [2025 南京玄武区期中]某动物保护机构要准备 A,B,C 三种类型的食物共 310 份,给需要救助的动物,现安排 40 名志愿者来准备这些食物,每名志愿者只能准备同一种类型的食物,且要求每名志愿者满工作量.根据以下表格信息,回答问题.
|食物类型|A|B|C|
|每名志愿者准备量/份|6|8|9|
(1)如果 C 类型食物安排了 16 名志愿者,那么 A,B 两种类型食物各需多少名志愿者?
(2)现要求每种类型的食物至少安排 11 名志愿者,求三种类型的食物各需安排多少名志愿者,写出所有可行的方案.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件，结合志愿者人数和食物份数的关系列出方程或方程组来求解。
（1）求如果C类型食物安排了16名志愿者时，A、B两种类型食物各需多少名志愿者
设A类型食物需$x$名志愿者，B类型食物需$y$名志愿者。
根据志愿者总人数列方程：
已知总共有$40$名志愿者，C类型食物安排了$16$名志愿者，那么A、B两种类型食物的志愿者人数之和为$40 - 16 = 24$名，可列方程$x + y + 16 = 40$，即$x + y = 24$。
根据食物总份数列方程：
每名志愿者准备A类型食物$6$份，B类型食物$8$份，C类型食物$9$份，且三种类型食物共$310$份，可列方程$6x + 8y + 9×16 = 310$，即$6x + 8y = 310 - 144 = 166$。
联立方程求解：
联立$\begin{cases}x + y = 24\\6x + 8y = 166\end{cases}$，由$x + y = 24$可得$x = 24 - y$，将其代入$6x + 8y = 166$中，得到$6×(24 - y) + 8y = 166$，
即$144 - 6y + 8y = 166$，
$2y = 166 - 144 = 22$，
解得$y = 11$。
把$y = 11$代入$x = 24 - y$，可得$x = 24 - 11 = 13$。
（2）求每种类型的食物至少安排11名志愿者时，三种类型的食物各需安排多少名志愿者，并写出所有可行的方案
设A类型食物需$m$名志愿者，B类型食物需$n$名志愿者，则C类型食物需$(40 - m - n)$名志愿者。
根据食物总份数列方程：
根据三种类型食物共$310$份，可列方程$6m + 8n + 9(40 - m - n) = 310$，
化简可得$6m + 8n + 360 - 9m - 9n = 310$，
$-3m - n = 310 - 360 = -50$，
即$n = 50 - 3m$。
根据每种类型的食物至少安排11名志愿者列不等式组：
$\begin{cases}m\geq11\\n\geq11\\40 - m - n\geq11\end{cases}$，
将$n = 50 - 3m$代入$n\geq11$和$40 - m - n\geq11$中，
由$n = 50 - 3m\geq11$，可得$3m\leq50 - 11 = 39$，解得$m\leq13$；
由$40 - m - (50 - 3m)\geq11$，可得$40 - m - 50 + 3m\geq11$，
$2m\geq11 + 50 - 40 = 21$，解得$m\geq10.5$。
又因为$m\geq11$，所以$11\leq m\leq13$。
因为$m$为正整数，所以$m$的值可以为$11$，$12$，$13$。
当$m = 11$时，$n = 50 - 3×11 = 50 - 33 = 17$，$40 - m - n = 40 - 11 - 17 = 12$。
当$m = 12$时，$n = 50 - 3×12 = 50 - 36 = 14$，$40 - m - n = 40 - 12 - 14 = 14$。
当$m = 13$时，$n = 50 - 3×13 = 50 - 39 = 11$，$40 - m - n = 40 - 13 - 11 = 16$。
【答案】：（1）A类型食物需$13$名志愿者，B类型食物需$11$名志愿者；
（2）所有可行的方案为：
方案一：A类型食物$11$名志愿者，B类型食物$17$名志愿者，C类型食物$12$名志愿者；
方案二：A类型食物$12$名志愿者，B类型食物$14$名志愿者，C类型食物$14$名志愿者；
方案三：A类型食物$13$名志愿者，B类型食物$11$名志愿者，C类型食物$16$名志愿者。