《2025年一遍过七年级数学上册沪科版》

10 [2025 贵阳南明区期末]某校为开展主题为“书香满校园”的读书活动,现需购买甲、乙两种读本供学生阅读,其中甲种读本的单价为 20 元,乙种读本的单价为 15 元,若购买甲种读本$a$本,乙种读本的数量是甲种读本的 2 倍,则购买两种读本的总费用为( )

A.$20a$元
B.$30a$元
C.$40a$元
D.$50a$元

答案： D 由题意得,购买甲种读本的总费用为20×a=20a(元),购买乙种读本的总费用为15×2a=30a(元),故购买两种读本的总费用为20a+30a=50a(元).

11 [2025 深圳龙华区期末]若$x$为有理数,则$|x|-x$表示的数是( )

A.正数
B.非正数
C.负数
D.非负数

答案： D 当x≥0时,|x|-x=x-x=0;当x＜0时,|x|-x=-x-x=-2x＞0.综上,可知|x|-x表示的数是非负数.

12 [2025 安庆大观区期中]如果多项式$3x^{2}-7x^{2}+x+k^{2}x^{2}-5中不含x^{2}$项,那么$k$的值为( )

A.$2$
B.$-2$
C.$0$
D.$2或-2$

答案： D 3x²-7x²+x+k²x²-5=(k²-4)x²+x-5,因为该多项式中不含x²项,所以k²-4=0,所以k=2或-2.

变式 若多项式$mx^{2}+4xy-2y^{2}-x^{2}+nxy-2y+6的值与x$的取值无关,则$(m+n)^{3}$的值为______。

答案： -27 mx²+4xy-2y²-x²+nxy-2y+6=(m-1)x²+(4+n)xy-2y²-2y+6,因为该多项式的值与x的取值无关,所以m-1=0,4+n=0,所以m=1,n=-4,所以(m+n)³=(1-4)³=-27.

13 数学课上,张老师出了这样一道题目：当$a= \frac {1}{2}$,$b= -2$时,求多项式$7a^{3}+3a^{2}b+3a^{3}+6a^{3}b-3a^{2}b-10a^{3}-6a^{3}b-1$的值。解完这道题后,小阳指出：“$a= \frac {1}{2}$,$b= -2$是多余的条件。”师生讨论后,一致认为小阳的说法是正确的。请你说明小阳的说法是正确的理由。

答案： 解:7a³+3a²b+3a³+6a³b-3a²b-10a³-6a³b-1
=(7+3-10)a³+(3-3)a²b+(6-6)a³b-1
=-1,
所以该多项式的值为常数,与a,b的取值无关,所以小阳的说法是正确的.

14 新趋势·条件开放 已知$A= 2a^{m-1}b+b^{2}$,$B= 3a^{4}b+b^{n+1}$,再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件,求$m$,$n$的值。
条件①：$A与B$的差是一个单项式。
条件②：$A与B的和等于5a^{4}b+2b^{2}$。

答案： 解:选择条件①:
因为A与B的差是一个单项式,
所以2aᵐ⁻¹b与3a⁴b为同类项,b²与bⁿ⁺¹为同类项,
所以m-1=4,n+1=2,所以m=5,n=1.
选择条件②:
因为A与B的和等于5a⁴b+2b²,
所以2aᵐ⁻¹b与3a⁴b为同类项,b²与bⁿ⁺¹为同类项,
所以m-1=4,n+1=2,所以m=5,n=1.

15 运算能力 [2025 洛阳洛龙区期中]我们知道,$4x-2x+x= (4-2+1)x= 3x$,类似地,我们把$a+b$看成一个整体,则$4(a+b)-2(a+b)+(a+b)= (4-2+1)(a+b)= 3(a+b)$。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：(1)把$(a-b)^{2}$看成一个整体,合并$5(a-b)^{2}+4(a-b)^{2}-7(a-b)^{2}= $______；
(2)把$a+b$看成一个整体,合并$7(a+b)^{2}-6(a+b)+2(a+b)^{2}-4(a+b)$；
(3)若$a= b-1$,求代数式$7(a-b)^{3}+4(a-b)^{4}+3(a-b)^{3}-5(b-a)^{4}+11$的值。

答案： 解:
(1)2(a-b)²-5(a-b)²+4(a-b)²-7(a-b)²=(2-5+4-7)(a-b)²=-6(a-b)².
(2)7(a+b)²-6(a+b)+2(a+b)²-4(a+b)
=(7+2)(a+b)²-(6+4)(a+b)
=9(a+b)²-10(a+b).
(3)因为a=b-1,所以a-b=-1.
7(a-b)³+4(a-b)³+4(a-b)⁴+3(a-b)³-5(b-a)⁴+11
=(7+4+3)(a-b)³+(4-5)(a-b)⁴+11
=14(a-b)³-(a-b)⁴+11
=14×(-1)³-(-1)⁴+11
=-14-1+11
=-4.