《2025年一遍过七年级数学上册沪科版》

1 [2025 张掖期末]观察下列算式,用你发现的规律解决下列问题:
$11×10-(1+1)= 9×12$,
$15×10-(1+5)= 9×16$,
$21×10-(2+1)= 9×23$,
$34×10-(3+4)= 9×37$,
……
(1)请写出一个符合上述规律且与上面的算式不同的算式:______.
(2)设算式中第一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,请用含a和b的式子表示你所发现的规律.

答案： 解:
(1)23×10-(2+3)=9×25(答案不唯一)
(2)由题意可知,这个两位数可表示为10a+b,
发现的规律可表示为(10a+b)×10-(a+b)=9×(11a+b).

2 [新趋势·代数推理][2025 合肥期中]一个三位数,百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c,这个三位数可以用代数式表示为$100a+10b+c$.接下来我们探究能被9整除的三位数的特征.
【举例说明】(1)请写出两个能被9整除的三位数:____,____.
【一般探究】(2)由特例,提出猜想:如果$a+b+c$能被9整除,那么这个三位数就能被9整除.请在下列括号内填空,补全下面的推理过程:
$100a+10b+c= 99a+a+9b+b+c$
$=a+b+c+(______)$
$=a+b+c+9(______)$①.
因为$a+b+c$能被9整除,并且①式是9的倍数,也能被9整除,所以它们的和一定能被9整除,因此猜想成立.
【类比推广】(3)继续探索能被9整除的多位数的特征,写出你发现的规律.(不需要说明理由)

答案： 解:
(1)927 369 (答案不唯一)
(2)99a+9b 11a+b
(3)规律:一个多位数,如果各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个多位数一定能被9整除.

3 [新趋势·代数推理][2025 南阳期末]下面是馨馨同学的数学笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
一定能整除吗?
【发现问题】
(1)任意写一个两位数;
(2)交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个新的两位数;
(3)这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除.
【数学思考】
举例:例①$14+41= 55,55÷11= 5$;例②$25+52= 77,77÷11= 7$;例③______.
【问题解决】
设一个两位数的十位上的数字是a,个位上的数字是b,
则新数与原数的和为$(10a+b)+(10b+a)= 11a+11b= 11(a+b)$,
所以这个两位数与得到的新数的和能被11整除.
任务:
(1)仿照例子,将【数学思考】中例③补充完整:______.
(2)一个三位数,它的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,若把它的百位数字与个位数字对调,将得到一个新的三位数.计算原数与新数的差,这个差能被11整除吗? 为什么?

答案： 解:
(1)48+84=132,132÷11=12(答案不唯一)
(2)这个三位数与得到的新数的差能被11整除.理由如下:
力 探索规律
一个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,
所以这个三位数可表示为100a+10b+c,
把这个三位数的百位数字与个位数字对调,
将得到一个新的三位数,为100c+10b+a,
所以原数与新数的差为
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=11(9a-9c),
所以这个三位数与得到的新数的差能被11整除.