《2025年一遍过七年级数学上册沪科版》

12 如果一个多项式的次数是5,那么这个多项式的每一项的次数( )

A.都等于5
B.都小于5
C.都不大于5
D.都不小于5

答案： C 因为多项式的次数是这个多项式中次数最高项的次数,所以如果一个多项式的次数是5,那么这个多项式的每一项的次数都不大于5.

13 [2025淮南期末]下列说法正确的是( )

A.多项式$x^{2}+2x^{2}y+1$是二次三项式
B.单项式$2x^{2}y$的次数是2
C.0是单项式
D.单项式$-3πx^{2}y$的系数是-3

答案： C 多项式$x^{2}+2x^{2}y+1$是三次三项式,A选项错误;单项式$2x^{2}y$的次数是3,B选项错误;0是单项式,C选项正确;单项式$-3πx^{2}y$的系数是$-3π$,D选项错误.
易错分析
圆周率π是常数,故单项式$-3πx^{2}y$的系数是$-3π$.

14 新趋势·数学文化 [2025天津南开区期末]我国古代数学著作《周髀算经》中提到,冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中,在同一地点测量每个节气正午时同一根杆的日影长,发现每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值.若这个定值为$d(d＞0)$尺(这里的尺是我国古代长度单位),立春当日的日影长为10.5尺,则在下列对于立夏当日日影长(单位:尺)的近似值的代数式、此代数式的一次项系数和常数项的判断中,都正确的是( )

A.$(6d+10.5)$,6,10.5
B.$(-6d+10.5)$,-6,10.5
C.$(6d-10.5)$,6,10.5
D.$(-6d-10.5)$,6,-10.5

答案： B 从立春到立夏要经过雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨这5个节气,因为每个节气与它后一个节气的日影长的差为d尺,所以立夏时其日影长减少了6d尺,故立夏当日的日影长为$(10.5-6d)$尺,代数式$10.5-6d$的一次项系数和常数项分别为-6,10.5.

15 已知多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式,且单项式$2x^{n}y$的次数与该多项式的次数相同,则$m,n$的值分别为( )

A.3,2
B.4,3
C.4,4
D.5,4

答案： C 因为多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式,所以$2+m-1=5$,所以$m=4$.因为单项式$2x^{n}y$的次数与该多项式的次数相同,所以$n+1=5$,所以$n=4$.

变式 若一个多项式的每一项的次数都相等,则称该多项式为“齐次多项式”.如:$2x^{3}-3x^{2}y+y^{3}$是“齐次多项式”.若$x^{m}y-2x^{3}y^{2}+5x^{2}y^{n}+3xy^{4}+y^{5}$是“齐次多项式”,则$m,n$的值分别为____.

答案： 4,3 因为$x^{m}y-2x^{3}y^{2}+5x^{2}y^{n}+3xy^{4}+y^{5}$是"齐次多项式",所以$m+1=5,2+n=5$,解得$m=4,n=3$.

16 观察单项式$-2x^{2}y,4x^{3}y,-8x^{4}y,16x^{5}y,…$,回答下列问题:
(1)根据题中单项式的规律写出第9个单项式;
(2)试猜想第$n$个单项式是什么,并写出它的系数和次数.

答案： 解:
(1)因为第1个单项式是$-2x^{2}y$,第2个单项式是$4x^{3}y$,第3个单项式是$-8x^{4}y$,……所以第9个单项式是$(-2)^{9}x^{10}y$,即$-512x^{10}y$.
(2)由
(1)知,第n个单项式是$(-2)^{n}x^{n+1}y$,它的系数是$(-2)^{n}$,次数是$n+2$.

17 已知关于$x的整式(|k|-3)x^{3}+(k-3)x^{2}-k$.
(1)若此整式是单项式,求$k$的值;
(2)若此整式是二次多项式,求$k$的值;
(3)若此整式是二项式,求$k$的值.

答案： 解:
(1)因为关于x的整式$(|k|-3)x^{3}+(k-3)x^{2}-k$是单项式,所以$|k|-3=0$且$k-3=0$,所以$k=3$.
(2)因为关于x的整式$(|k|-3)x^{3}+(k-3)x^{2}-k$是二次多项式,所以$|k|-3=0$且$k-3≠0$,所以$k=-3$.
(3)因为关于x的整式$(|k|-3)x^{3}+(k-3)x^{2}-k$是二项式,所以①$|k|-3=0$且$k-3≠0,k≠0$;②$k-3=0$且$|k|-3≠0,k≠0$;③$k=0$且$|k|-3≠0,k-3≠0$(分类讨论);所以k的值是-3或0.

18 推理能力 [2024重庆中考A卷]已知整式$M$:$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+… +a_{1}x+a_{0}$,其中$n,a_{n-1},…,a_{0}$为自然数,$a_{n}$为正整数,且$n+a_{n}+a_{n-1}+… +a_{1}+a_{0}= 5$.下列说法:
①满足条件的整式$M$中有5个单项式;
②不存在任何一个$n$,使得满足条件的整式$M$有且仅有3个;
③满足条件的整式$M$共有16个.
其中正确的个数是( )

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D 因为$n,a_{n-1},...,a_{0}$为自然数,$a_{n}$为正整数,且$n+a_{n}+a_{n-1}+... +a_{1}+a_{0}=5$,所以$n=4,3,2,1$或0.当$n=4$时,$4+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=5$,所以$a_{4}=1,a_{3}=a_{2}=a_{1}=a_{0}=0$,所以满足条件的整式有:$x^{4}$;当$n=3$时,$3+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=5$,所以$(a_{3},a_{2},a_{1},a_{0})=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0)$或$(1,0,0,1)$,所以满足条件的整式有:$2x^{3},x^{3}+x^{2},x^{3}+x,x^{3}+1$;当$n=2$时,$2+a_{2}+a_{1}+a_{0}=5$,所以$(a_{2},a_{1},a_{0})=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2)$或$(1,1,1)$,所以满足条件的整式有:$3x^{2},2x^{2}+x,2x^{2}+1,x^{2}+2x,x^{2}+2,x^{2}+x+1$;当$n=1$时,$1+a_{1}+a_{0}=5$,所以$(a_{1},a_{0})=(4,0),(3,1),(2,2)$或$(1,3)$,所以满足条件的整式有:$4x,3x+1,2x+x,x+3$;当$n=0$时,$0+a_{0}=5$,所以$a_{0}=5$,所以满足条件的值式有:5.综上,满足条件的单项式有:$x^{4},2x^{3},3x^{2},4x,5$,共5个,故说法①正确;不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且仅有3个,故说法②正确;满足条件的整式M共有$1+4+6+4+1=16$(个),故说法③正确.故选D.