《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2024 山东滨州期末]分式$\frac {4y+3x}{4a},\frac {x^{2}-1}{x^{4}-1},\frac {x^{2}-xy+y^{2}}{x+y},\frac {a^{2}+2ab}{ab-2b^{2}}$中,最简分式有 (C)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C 【解析】分式$\frac{x^{2}-1}{x^{4}-1}$的分子与分母有公因式$x^{2}-1$,分式$\frac{4y+3x}{4a},\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x+y},\frac{a^{2}+2ab}{ab-2b^{2}}$是最简分式.故选 C.

2 [2025 山西太原质检]若分式$\frac {(x-1)(x+2)}{(x^{2}-A)x}$可以进行约分,则该分式中的 A 不可以是 (C)
A.1
B.x
C.-x
D.4

答案： C 【解析】当$A=1$时,分式为$\frac{(x-1)(x+2)}{(x^{2}-1)x}=$$\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-1)x}=\frac{x+2}{(x+1)x}$,可以约分,故 A 选项不符合题意；当$A=x$时，分式为$\frac{(x-1)(x+2)}{(x^{2}-x)x}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^{2}(x-1)}=\frac{x+2}{x^{2}}$，可以约分,故 B 选项不符合题意;当$A=-x$时,分式为$\frac{(x-1)(x+2)}{(x^{2}+x)x}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^{2}(x+1)}$,不可以约分，故 C 选项符合题意;当$A=4$时，分式为$\frac{(x-1)(x+2)}{(x^{2}-4)x}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)x}=\frac{x-1}{(x-2)x}$,可以约分,故 D 选项不符合题意.故选 C.

3 若 m 为实数,分式$\frac {x(x+2)}{x^{2}+m}$不是最简分式,则$m=$0或-4.

答案： 0或-4 【解析】
∵分式$\frac{x(x+2)}{x^{2}+m}$不是最简分式,且m为实数,
∴$m=0$或-4.

4 [2025 陕西延安期末]如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分式为“和谐分式”. 下列分式中,是“和谐分式”的是 (B)
A.$\frac {x-1}{x^{2}+1}$
B.$\frac {a-2b}{a^{2}-b^{2}}$
C.$\frac {x+y}{x^{2}-y^{2}}$
D.$\frac {a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{2}}$

答案： B 【解析】A 选项,$\frac{x-1}{x^{2}+1}$,分子、分母都不可以因式分解,不是"和谐分式",不符合题意;B 选项,$\frac{a-2b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a-2b}{(a+b)(a-b)}$,分母可以因式分解,且是最简分式,是"和谐分式",符合题意;C 选项,$\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}$,分母可以因式分解,但不是最简分式,不是"和谐分式"，不符合题意；D 选项，$\frac{a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{2}}=$$\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^{2}}=\frac{a-b}{a+b}$,分子可以因式分解,但不是最简分式,不是"和谐分式",不符合题意.故选 B.

5 约分:
(1)$\frac {2a(a-1)}{8ab^{2}(1-a)}$;
(2)$\frac {a^{2}-4ab+4b^{2}}{a^{2}-4b^{2}}$.

答案： 【解】
(1)$\frac{2a(a-1)}{8ab^{2}(1-a)}=\frac{2a(a-1)}{-8ab^{2}(a-1)}=-\frac{1}{4b^{2}}$.
(2)$\frac{a^{2}-4ab+4b^{2}}{a^{2}-4b^{2}}=\frac{(a-2b)^{2}}{(a+2b)(a-2b)}=\frac{a-2b}{a+2b}$.

6 先化简,再求值:$\frac {x^{2}-4xy+4y^{2}}{(x-2y)^{3}}$,其中$x= -2,y= 3$.

答案： 【解】$\frac{x^{2}-4xy+4y^{2}}{(x-2y)^{3}}=\frac{(x-2y)^{2}}{(x-2y)^{3}}=\frac{1}{x-2y}$.把$x=-2,y=3$代入,得原式$=\frac{1}{x-2y}=\frac{1}{-2-2×3}=-\frac{1}{8}$.

7 [2025 河南许昌期中]将分式$\frac {1}{1-a^{2}}与分式\frac {a+1}{a^{2}-2a+1}$通分后,$\frac {a+1}{a^{2}-2a+1}$的分母变为(1+a)·(1-a)^{2},则$\frac {1}{1-a^{2}}$的分子变为 (A)
A.1 - a
B.1 + a
C.-1 - a
D.-1 + a

答案： A 【解析】
∵两分式的最简公分母为$(1+$$a)(1-a)^{2}$，
∴$\frac{1}{1-a^{2}}=\frac{1}{(1+a)(1-a)}=$$\frac{1-a}{(1+a)(1-a)^{2}}$，
∴$\frac{1}{1-a^{2}}$的分子变为$1-a$,故选 A.

8 [2024 河北石家庄质检]分式$\frac {2}{5x^{2}(x-y)}与\frac {1}{2x-2y}$的最简公分母是$10x^{2}(x-y)$.

答案： $10x^{2}(x-y)$【解析】
∵$\frac{1}{2x-2y}=\frac{1}{2(x-y)}$,
∴分式$\frac{2}{5x^{2}(x-y)}$与$\frac{1}{2x-2y}$的最简公分母是$10x^{2}(x-y)$,故答案为$10x^{2}(x-y)$.

9 $\frac {a-1}{a^{2}+2a+1}与\frac {5}{1-a^{2}}$通分的结果是$\frac{(a-1)^{2}}{(a+1)^{2}(a-1)},\frac{-5(a+1)}{(a+1)^{2}(a-1)}$.

答案： $\frac{(a-1)^{2}}{(a+1)^{2}(a-1)},\frac{-5(a+1)}{(a+1)^{2}(a-1)}$【解析】
∵$\frac{a-1}{a^{2}+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^{2}},\frac{5}{1-a^{2}}=\frac{-5}{a^{2}-1}=$$\frac{-5}{(a+1)(a-1)}$,
∴最简公分母为$(a+1)^{2}(a-1)$，
∴通分后分别为$\frac{(a-1)^{2}}{(a+1)^{2}(a-1)}$,$\frac{-5(a+1)}{(a+1)^{2}(a-1)}$.

| 通分前的分式 | 最简公分母 | 通分后的分式 |
| $\frac {3}{4xy}$ | $\frac {5}{2x^{2}y}$ | $4x^{2}y$$\frac{3x}{4x^{2}y}$，$\frac{10}{4x^{2}y}$ |
| $\frac {1}{2x-1}$ | $\frac {1}{2x+1}$ | $4x^{2}-1$$\frac{2x+1}{4x^{2}-1}$，$\frac{2x-1}{4x^{2}-1}$ |
| $\frac {x}{2x-1}$ | $\frac {x+1}{4x^{2}-1}$ | $4x^{2}-1$$\frac{2x^{2}+x}{4x^{2}-1}$，$\frac{x+1}{4x^{2}-1}$ |

答案： 【解】填写表格如下:
通分前的分式 最简公分母 通分后的分式
$\frac{3}{4xy}$ $\frac{5}{2x^{2}y}$ $4x^{2}y$ $\frac{3x}{4x^{2}y}$ $\frac{10}{4x^{2}y}$
$\frac{1}{2x-1}$ $\frac{1}{2x+1}$ $4x^{2}-1$ $\frac{2x+1}{4x^{2}-1}$ $\frac{2x-1}{4x^{2}-1}$
$\frac{x}{2x-1}$ $\frac{x+1}{4x^{2}-1}$ $4x^{2}-1$ $\frac{2x^{2}+x}{4x^{2}-1}$ $\frac{x+1}{4x^{2}-1}$