《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2024江苏扬州期中]下列各式中不能用平方差公式计算的是(D)
A.$(\frac{1}{2}a + 2b)(\frac{1}{2}a - 2b)$
B.$(-2x + 3y)(-3y - 2x)$
C.$(-2x + y)(-2x - y)$
D.$(x - 1)(-x + 1)$

答案： 1. D 【解析】A 选项，$\left(\frac{1}{2}a + 2b\right)\left(\frac{1}{2}a - 2b\right)=\left(\frac{1}{2}a\right)^2-(2b)^2=\frac{1}{4}a^2 - 4b^2$，能用平方差公式计算，不符合题意；B 选项，$(-2x + 3y)(-3y - 2x)=(-2x)^2-(3y)^2 = 4x^2-9y^2$，能用平方差公式计算，不符合题意；C 选项，$(-2x + y)(-2x - y)=(-2x)^2 - y^2=4x^2 - y^2$，能用平方差公式计算，不符合题意；D 选项，$(x - 1)(-x + 1)$，不能用平方差公式计算，符合题意. 故选 D.

如图,在边长为$a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a ＞ b)$,将余下部分剪拼成一个长方形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于$a$,$b$的恒等式为(A)
A.$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
B.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
C.$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
D.$a^{2} - ab = a(a - b)$

答案： 2. A 【解析】第一个图形中阴影部分的面积为$a^2 - b^2$，第二个图形中阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$.
∵ 第二个图形中阴影部分的面积等于第一个图形中阴影部分的面积，
∴$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，故 A 正确. 故选 A.

3 [2025北京丰台区期中]已知$x^{2} - x - 3 = 0$,则代数式$(x + 1)(x - 1) + x(x - 2)$的值为5。

答案： 3. 5 【解析】$(x + 1)(x - 1)+x(x - 2)=x^2 - 1 + x^2 - 2x=2x^2 - 2x - 1$.
∵$x^2 - x - 3 = 0$,
∴$x^2 - x = 3$，则$2x^2 - 2x = 6$,
∴ 原式$=6 - 1 = 5$，故答案为 5.

如果$(a^{2} + b^{2} + 1)(a^{2} + b^{2} - 1) = 8$,那么$a^{2} + b^{2}$的值为3。

答案： 4. 3 【解析】
∵$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1)=8$,
∴$(a^2 + b^2)^2 - 1 = 8$,
∴$(a^2 + b^2)^2=9$,
∴$a^2 + b^2 = 3$（负值舍去），故答案为 3.

5 计算：
(1)$(3m^{2} + 2n^{3})(-3m^{2} + 2n^{3})$；
(2)$(2x + 1)(2x - 1)(4x^{2} + 1)$。

答案： 5. 【解】（1）原式$=-(3m^2 + 2n^3)(3m^2 - 2n^3)=-(9m^4 - 4n^6)=-9m^4 + 4n^6$.
（2）原式$=(4x^2 - 1)(4x^2 + 1)=16x^4 - 1$.

6 [2024山东德州期末]$3(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)×…×(2^{32} + 1) + 1$计算结果的个位数字是(B)
A.4
B.6
C.2
D.8

答案： 6. B 【解析】原式$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)×\cdots×(2^{32} + 1)+1=(2^4 - 1)(2^4 + 1)×\cdots×(2^{32} + 1)+1=2^{64}-1 + 1=2^{64}$.
∵$2^1 = 2$,$2^2 = 4$,$2^3 = 8$,$2^4 = 16$,$2^5 = 32$,$2^6 = 64$,…，个位数字按照 2,4,8,6 依次循环，而$64 = 16×4$,
∴ 原式计算结果的个位数字为 6. 故选 B.

7 [2025浙江宁波校级质检]若$a = 1954×1946$,$b = 1957×1943$,$c = 1949×1951$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为______(用“＜”连接)。$b ＜ a ＜ c$

答案： 7. $b ＜ a ＜ c$ 【解析】$a = 1954×1946=(1950 + 4)(1950 - 4)=1950^2 - 16$,$b = 1957×1943=(1950 + 7)(1950 - 7)=1950^2 - 49$,$c = 1949×1951=(1950 - 1)(1950 + 1)=1950^2 - 1$.
∵$1950^2 - 49 ＜ 1950^2 - 16 ＜ 1950^2 - 1$,
∴$b ＜ a ＜ c$，故答案为$b ＜ a ＜ c$.

8 如图是一道例题及部分解答过程,其中$A$,$B是两个关于x$,$y$的二项式。
例题：先去括号,再合并同类项。
$2(\text{A}) - 3(\text{B})$。
解：原式$= 4x - 6y - 6x - 9y$
$=$$-2x - 15y$。
请仔细观察上面的例题及解答过程,完成下列问题：
(1)直接写出多项式$A和B$,并求出该例题的运算结果。
$A = 2x - 3y$,$B = 2x + 3y$，运算结果为$-2x - 15y$。
(2)求多项式$A与B$的平方差。
$A^2 - B^2=(2x - 3y)^2-(2x + 3y)^2=(2x - 3y + 2x + 3y)(2x - 3y - 2x - 3y)=4x·(-6y)=-24xy$。

答案： 8. 【解】（1）$A = 2x - 3y$,$B = 2x + 3y$，原式$=4x - 6y - 6x - 9y=-2x - 15y$.
（2）$A^2 - B^2=(2x - 3y)^2-(2x + 3y)^2=(2x - 3y + 2x + 3y)(2x - 3y - 2x - 3y)=4x·(-6y)=-24xy$.