《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

如图所示,边长为2的等边三角形ABC中,D点在边BC上运动(不与B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD= DE= DF.点D在BC边上从B至C的运动过程中,△BED周长的变化规律为(D)
A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大

答案： D　[解析]
∵AD=DE=DF,
∴∠DAE=∠DEA,∠DAF=∠DFA.
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°,
∴∠DEA+∠DFA=60°.
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,
∴∠EDB=∠DFA.
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°,
∴∠CDF=∠BED,
∴△BDE≌△CFD,
∴BD=CF,BE=CD,
∴△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD.
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大,
∴△BED的周长先变小后变大，故选D.

2 [2025湖北武汉期中,较难]如图,点P为△ABC内部一点,且∠PBC= 30°,∠PBA= 8°,∠APB= 150°,∠CAP= 22°,则∠APC的度数为______°.

答案：
142　[解析]延长AC到Q，使AQ=AB,连接PQ，BQ,PQ交BC于点E，如图.
∵∠PBA=8°,∠APB=150°,
∴∠BAP=180°−(∠PBA+∠APB)=22°.
∵∠CAP=22°,
∴∠CAP=∠BAP=22°.在△QAP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}AQ=AB,\\ ∠QAP=∠BAP,\\ AP=AP,\end{array}\right.$
∴△QAP≌△BAP(SAS),
∴∠APQ=∠APB=150°,∠PQA=∠PBA=8°,PQ=PB,
∴∠BPQ=360°−(∠APQ+∠APB)=60°,
∴△PBQ是等边三角形,
∴∠PBQ=∠BPQ=60°.
∵∠PBC=30°,
∴∠QBC=∠PBQ−∠PBC=30°,
∴∠QBC=∠PBC=30°,
∴BC是∠PBQ的平分线,
∴BC⊥PQ,PE=QE,
∴BC是线段PQ的垂直平分线,
∴PC=QC,
∴∠CPQ=∠PQA=8°,
∴∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=68°,
∴∠APC=360°−(∠APB+∠BPC)=360°−(150°+68°)=142°.故答案为142.

3 [较难]已知:如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,AD,BE相交于点O,点M,N分别是线段AD,BE的中点.
(1)求证:AD= BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:△MNC是等边三角形.

答案：
(1)[证明]
∵△ABC,△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
(2)[解]
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC;
∵△DCE是等边三角形,
∴∠CED=∠CDE=60°,
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°,
∴180°−(∠ADE+∠BED)=60°,即∠DOE的度数是60°.
(3)[证明]
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC.
又
∵点M,N分别是线段AD,BE的中点,
∴AM=$\frac{1}{2}$AD,BN=$\frac{1}{2}$BE,
∴AM=BN.
在△ACM和△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}AC=BC,\\ ∠CAM=∠CBN,\\ AM=BN,\end{array}\right.$
∴△ACM≌△BCN,
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN.又
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM+∠MCB=60°,
∴∠BCN+∠MCB=60°,
∴∠MCN=60°,
∴△MNC是等边三角形.
关键点拔作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解决问题的关键

4 核心素养推理能力[难]已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED= EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图(1),当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(填“＞”“＜”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图(2),当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(填“＞”“＜”或“=”).
理由如下:过点E作EF//BC,交AC于点F.(请你完成解答过程).
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED= EC,若△ABC的边长为1,AE= 2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).

答案：

(1)=
[解]
(2)AE=DB.理由如下:过点E作EF//BC,交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠AFE=60°,
∴△AEF为等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∴BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD.
∵∠DEB=∠ABC−∠D=60°−∠D,∠ECF=∠ACB−∠ECD=60°−∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中，$\left\{\begin{array}{l}DE=EC,\\ ∠DEB=∠ECF,\\ BE=FC,\end{array}\right.$
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,则AE=DB.故答案为=.
(3)根据题意画图,如图所示,CD=3.过点E作EF//BC,交AC的延长线于点F,证△AEF是等边三角形,同
(2)可证△DBE≌△EFC,得到AE=EF=DB=2,即可得出答案,