《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

下列是完全平方式的有(B)
①$a^{2}+2a+4$；②$a^{2}+2a-1$；③$a^{2}+2a+1$；④$-a^{2}+2a+1$；⑤$-a^{2}-2a-1$；⑥$4a^{2}+4a+1$。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B 【解析】①②④不是完全平方式；③⑥是完全平方式；⑤$-a^{2}-2a-1=-(a^{2}+2a+1)=-(a+1)^{2}$,是完全平方式. 故选 B.

2若$x^{2}+(m-2)x+16$是一个完全平方式,则m的值是10 或-6。

答案： 10 或-6 【解析】$\because x^{2}+(m-2)x+16$是一个完全平方式，$\therefore m-2=\pm 8$,解得$m=10$或-6,故答案为 10 或-6.

3[2025重庆期中]将多项式$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-8)+16$进行因式分解的结果是(A)
A.$(x^{2}+y^{2}-4)^{2}$
B.$(x-y)^{2}$
C.$(x^{2}-y^{2}-4)^{2}$
D.$(x^{2}+y^{2}+4)^{2}$

答案： A 【解析】$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-8)+16=(x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+16=(x^{2}+y^{2}-4)^{2}$,故选 A.

4[2024山东临沂期中]因式分解：$2a^{2}-2a+\frac {1}{2}= $____。

答案： $2(a-\frac {1}{2})^{2}$【解析】原式$=2(a^{2}-a+\frac {1}{4})=2(a-\frac {1}{2})^{2}.$

5分解因式：(1)$(x^{2}+4)^{2}-16x^{2}$$(x+2)^{2}(x-2)^{2}$；
(2)[2024江苏南京调研]$(a^{2}+a)^{2}-(a+1)^{2}$$(a+1)^{3}(a-1)$。

答案： 【解】
(1)原式$=(x^{2}+4+4x)(x^{2}+4-4x)=(x+2)^{2}(x-2)^{2}.$
(2)原式$=(a^{2}+a+a+1)(a^{2}+a-a-1)=(a+1)^{2}(a+1)(a-1)=(a+1)^{3}(a-1).$

6[2025四川资阳期中]下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程。
解：设$x^{2}-4x= y$,
则原式$=(y+2)(y+6)+4$ (第一步)
$=y^{2}+8y+16$ (第二步)
$=(y+4)^{2}$ (第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$。 (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了什么公式分解因式？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果。
(3)请你仿照以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解。

答案： 【解】
(1)该同学第二步到第三步运用了完全平方公式分解因式.
(2)该同学因式分解的结果不彻底,因式分解的最后结果是$(x-2)^{4}.$
(3)设$x^{2}-2x=y$,则$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}-2x+1)^{2}=[(x-1)^{2}]^{2}=(x-1)^{4}.$

7不论a,b为任何实数,$a^{2}+b^{2}-6a+10b+35$的值都是(B)
A.非负数
B.正数
C.负数
D.非正数

答案： B 【解析】$a^{2}+b^{2}-6a+10b+35=(a-3)^{2}+(b+5)^{2}+1＞0$,故选 B.

8如图,在边长为a cm的大正方形内放入三个边长都为b cm$(a＞b)$的小正方形纸片,这三张纸片没有盖住的面积是$4cm^{2}$,则$a^{2}-2ab+b^{2}$的值为4。

答案： 4 【解析】由题意得$(a-b)×a-(a-b)×b=(a-b)(a-b)=(a-b)^{2}=4,\therefore a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}=4$.故答案为 4.

9[2024山西太原期末]已知一个圆的面积为$9πa^{2}+6πab+πb^{2}(a＞0,b＞0)$,则该圆的半径是$3a+b$。

答案： $3a+b$【解析】设该圆的半径为 R.
∵ 原式$=π(9a^{2}+6ab+b^{2})=π(3a+b)^{2}=πR^{2},\therefore R=3a+b$,即半径为$3a+b.$

10已知m,n满足$mn= 4$,$m-n= -1$,则$2m^{3}n-4m^{2}n^{2}+2mn^{3}= $8。

答案： 8 【解析】$2m^{3}n-4m^{2}n^{2}+2mn^{3}=2mn(m^{2}-2mn+n^{2})=2mn(m-n)^{2}.\because mn=4,m-n=-1,\therefore 2mn(m-n)^{2}=2×4×(-1)^{2}=8,\therefore 2m^{3}n-4m^{2}n^{2}+2mn^{3}=8$.故答案为 8.

11[2025河南信阳期中]若a,b是等腰$\triangle ABC$的两边长,且满足关系式$(a-2)^{2}+b^{2}= 8b-16$,则$\triangle ABC$的周长是____10。

答案： 10 【解析】$\because (a-2)^{2}+b^{2}=8b-16,\therefore (a-2)^{2}+b^{2}-8b+16=0,\therefore (a-2)^{2}+(b-4)^{2}=0,\therefore a-2=0,b-4=0,\therefore a=2,b=4$.①若 2 是腰长,则三角形的三边长为 2,2,4,不符合三角形三边关系,不能组成三角形;②若 2 是底边长,则三角形的三边长为 2,4,4,符合三角形三边关系,则$\triangle ABC$的周长为$2+4+4=10$.故答案为 10.