《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [中]在如图所示的正方形网格图中,若$\triangle MNP \cong \triangle MEQ$,则点Q应是图中的( )


A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

答案：
D 【解析】
∵△MNP≌△MEQ,
∴点 Q 应是图中的点 D,如图所示.故选 D.
　　　　　　　　　　　　

如图,$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C$,$\angle A' = 40^{\circ}$,$\angle CB'A' = 60^{\circ}$,$A'C$交边AB于P(点P不与A,B重合),BO,CO分别平分$\angle CBA$,$\angle BCP$.若$m^{\circ} ＜ \angle BOC ＜ n^{\circ}$,则$n - m$的值为(B)
A.20
B.40
C.60
D.100

答案： B 【解析】
∵△ABC≌△A'B'C',
∴∠A=∠A',∠CBA=∠CB'A',
∴∠A=40°,∠CBA=60°，
∴∠ACB=180° - ∠A - ∠CBA=180° - 40° - 60°=80°,
∵BO,CO 分别平分∠ABC,∠PCB,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠PCB,
∴∠BOC=180° - ∠OBC - ∠OCB=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠PCB)=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BPC)=90° + $\frac{1}{2}$∠BPC=90° + $\frac{1}{2}$(∠A+∠ACP)=110° + $\frac{1}{2}$∠ACP,则∠ACP=2∠BOC - 220°,
∵P 点在 AB 边上且不与 A,B 重合,
∴0°＜∠ACP＜80°,
∴0°＜2∠BOC - 220°＜80°,
∴110°＜∠BOC＜150°,
∴m=110,n=150,
∴n - m=40.故选 B.

3 [2024重庆沙坪坝区期末,中]如图(1),数轴上从左至右依次有B,O,A,N四个点,其中点B,O,A表示的数分别为$-\sqrt{7}$,0,4,线段OA上有一点M.如图(2),将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转$90^{\circ}$,将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转$90^{\circ}$,连接BM,MN.若$\triangle OBM和\triangle AMN$全等,则点M表示的数为2 或 4 - $\sqrt{7}$.

答案： 2 或 4 - $\sqrt{7}$ 【解析】依题意,得 OB=$\sqrt{7}$,OA = 4.由△OBM 和△AMN 全等,分两种情况讨论:当△OBM≌△AMN 时,OB=MA=$\sqrt{7}$,
∴OM=OA - MA=4 - $\sqrt{7}$;当△OBM≌△ANM 时,OM=MA,
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=2.故答案为 2 或 4 - $\sqrt{7}$

4 [中]如图,在$\triangle ABC$中,点A的坐标为$(0,1)$,点B的坐标为$(0,4)$,点C的坐标为$(4,3)$,点D在第二象限,且$\triangle ABD与\triangle ABC$全等,则点D的坐标是______.

答案：
(-4,3)或(-4,2) 【解析】如图,当△ABD≌△ABC 时,点 D 的坐标是(-4,3);当△ABD'≌△BAC 时,△ABD'的高D'G等于△BAC的高 CH,即 D'G=4,AG=BH=1,
∴OG=2,
∴点D'的坐标是(-4,2).
　　　　　　　　　　　　　　　

5 [2024山东青岛期末,中]图(1)、图(2)都是由边长为1的小正方形和腰长为1的等腰直角三角形组成的图形.
(1)用实线把图(1)分割成六个全等图形；
(2)用实线把图(2)分割成四个全等图形.

答案：
【解】
(1)如图
(1).根据题意,分成六个等腰直角三角形,且每个三角形的面积为1.
(2)如图
(2).根据题意,分成四个直角梯形,且每个梯形的面积为$\frac{3}{2}$.
　　　　 　　

6 [2025山西大同质检,中]如图,在$\triangle ABC$中,点D在边BC上,点E在边AD上,延长BE交AC于点F,且$\triangle ACD \cong \triangle BED$.
(1)若$BC = 11$,$AD = 8$,求CD的长度；
(2)求证：$\angle AFE = 90^{\circ}$；
(3)若$S_{\triangle BCF} = 20$,$S_{四边形CFED} = 8$,则$S_{\triangle AEF} = $4.

答案： 1. （1）
解：
因为$\triangle ACD\cong\triangle BED$，所以$CD = ED$，$AD = BD$。
已知$AD = 8$，$BC = 11$，设$CD=x$，则$BD = AD = 8$。
由$BC=BD + CD$，可得$11 = 8 + x$。
解得$x = 3$，即$CD = 3$。
2. （2）
证明：
因为$\triangle ACD\cong\triangle BED$，所以$\angle CAD=\angle EBD$。
又因为$\angle AEF=\angle BED$（对顶角相等）。
在$\triangle AEF$和$\triangle BED$中，根据三角形内角和定理$\angle AFE = 180^{\circ}-\angle CAD-\angle AEF$，$\angle BDE = 180^{\circ}-\angle EBD-\angle BED$。
所以$\angle AFE=\angle BDE$。
因为$\triangle ACD\cong\triangle BED$，所以$\angle BDE=\angle ADC$，且$\angle ADC + \angle ADB = 180^{\circ}$，$AD = BD$，$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$（等腰三角形三线合一，这里$AD = BD$，$\triangle ACD\cong\triangle BED$可推出$\angle ADB = 90^{\circ}$）。
所以$\angle AFE = 90^{\circ}$。
3. （3）
因为$\triangle ACD\cong\triangle BED$，所以$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BED}$。
则$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle BED}$，$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle ACD}$。
又因为$S_{\triangle BCF}=S_{\triangle BEC}+S_{\triangle CEF}$，$S_{四边形CFED}=S_{\triangle CED}+S_{\triangle CEF}$，且$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}+S_{\triangle CED}$（$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BED}$，等量代换）。
设$S_{\triangle AEF}=x$。
由于$\triangle AEF$和$\triangle BCF$中，$\angle AFE=\angle BFC = 90^{\circ}$，$\angle FAE=\angle FBC$（由$\triangle ACD\cong\triangle BED$得$\angle CAD=\angle EBD$），所以$\triangle AEF\sim\triangle BCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
设$S_{\triangle AEF}=x$，$S_{\triangle BCF}=20$，$S_{四边形CFED}=8$，$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BCF}-S_{四边形CFED}=20 - 8=12$。
因为$\triangle AEF\sim\triangle BCF$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle BEC}}=\frac{AE}{BE}$，$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle BCF}}=(\frac{AE}{BE})^2$。
设$S_{\triangle AEF}=x$，则$\frac{x}{12 - x}=\frac{12 - x}{20}$（由$\triangle AEF\sim\triangle BCF$，$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle BEC}-S_{\triangle AEF}}=\frac{S_{\triangle BEC}-S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle BCF}}$，因为$S_{\triangle BEC}-S_{\triangle AEF}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}+S_{\triangle CED}-S_{\triangle AEF}$，$\triangle ACD\cong\triangle BED$，$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle CED}$，$S_{\triangle BEC}-S_{\triangle AEF}=2(S_{\triangle AED})$，$\triangle AEF\sim\triangle BCF$的另一种推导：$S_{\triangle BCF}-S_{四边形CFED}=S_{\triangle BEC}$，$S_{\triangle AEF}$与$S_{\triangle BEC}$，$S_{\triangle BCF}$的关系）。
即$(12 - x)^2=20x$，$144-24x+x^{2}=20x$，$x^{2}-44x + 144 = 0$，$(x - 4)(x - 36)=0$。
解得$x = 4$或$x = 36$（$x\lt20$，舍去$x = 36$）。
所以$S_{\triangle AEF}=4$。
故答案为$4$。

7 [2024山西吕梁期中,中]如图,A,D,E三点在同一条直线上,且$\triangle BAD \cong \triangle ACE$.
(1)求证：$BD = CE + DE$.
(2)当$\angle BAC$满足什么条件时,$BD // CE$？并说明理由.

答案：
(1)【证明】
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE.
(2)【解】当∠BAC=90°时,BD//CE.理由如下:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠CAE=90°.
∵△BAD≌△ACE,
∴∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠AEC,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDE=90°,∠AEC=∠ADB=90°,
∴∠BDE=∠AEC,
∴BD//CE.