《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2024山东济南期末,中]等腰三角形的周长为11 cm,其中一边长为4 cm,则该等腰三角形的腰长为 (C)
A.4 cm
B.3.5 cm
C.4 cm或3.5 cm
D.3 cm

答案： C [解析]分情况考虑:当4cm是腰长时，则底边长是11 - 2×4 = 3(cm)，长为4cm,4cm,3cm的线段能组成三角形。当4cm是底边长时，腰长是(11 - 4)×$\frac{1}{2}$ = 3.5(cm)，长为4cm,3.5cm,3.5cm的线段能组成三角形。故选C。

2 [2024浙江绍兴期中,中]若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半,则此三角形底角度数为72°或45°.

答案： 72°或45° [解析]设这个三角形的底角的度数为x。由题意分以下两种情况:①这个三角形的三个角的度数分别为x,x,$\frac{x}{2}$，由三角形的内角和定理得x + x + $\frac{x}{2}$ = 180°，解得x = 72°；②这个三角形的三个角的度数分别为x,x,2x，由三角形的内角和定理得x + x + 2x = 180°，解得x = 45°，故答案为72°或45°。

3 [中]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则等腰三角形底角的度数为 ( )

A.15°
B.30°
C.15°或75°
D.30°或150°

答案：
C [解析]由题意得在等腰△ABC中，AB = AC，BD为腰AC上的高，∠ABD = 60°。当BD在△ABC内部时，如图
(1)。
∵BD⊥AC，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BAD = 90° - 60° = 30°。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - 30°) = 75°。当BD在△ABC外部时，如图
(2)。
∵BD⊥AC，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BAD = 90° - 60° = 30°。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB。
∵∠BAD = ∠ABC + ∠ACB，
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠BAD = 15°。综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°。故选C。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
关键点拨：注意分两种情况讨论:①当BD在△ABC内部时；②当BD在△ABC外部时。

4 [2024湖北武汉武昌区校级期中,较难]已知等腰三角形ABC中,AB= AC,两腰的垂直平分线交于点P,∠BPC= 100°,则等腰三角形的顶角为 ( )

A.50°
B.20°
C.50°或130°
D.50°或100°

答案：
C [解析]分两种情况:当点P在△ABC内部时，如图
(1)，连接AP,BP,PC。因为AB和AC的垂直平分线交于点P，所以PA = PB = PC，所以∠BAP = ∠ABP，∠PBC = ∠PCB，∠PAC = ∠ACP。因为∠BPC = 100°，所以∠PBC + ∠PCB = 180° - ∠BPC = 80°。因为∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，所以∠ABP + ∠BAP + ∠ACP + ∠CAP = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 100°，所以2∠BAP + 2∠CAP = 100°，所以∠BAP + ∠CAP = 50°，所以∠BAC = 50°。当点P在△ABC外部时，如图
(2)，连接AP,BP,PC。因为AB和AC的垂直平分线交于点P，所以PA = PB = PC，所以∠BAP = ∠ABP，∠PAC = ∠ACP。因为∠BPC = 100°，所以∠ABP + ∠BAP + ∠CAP + ∠ACP = 360° - ∠BPC = 260°，所以2∠BAP + 2∠CAP = 260°，所以∠BAP + ∠CAP = 130°，所以∠BAC = 130°。综上所述，等腰三角形的顶角为50°或130°。故选C。
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　

5 [中]已知等腰三角形的底边长为10 cm,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另一部分长5 cm,那么这个三角形的腰长为______ cm.

答案：
15 [解析]如图，设等腰△ABC的腰长是AB = AC = x cm。当AD + AC - (BD + BC) = 5时，$\frac{1}{2}$x + x - ($\frac{1}{2}$x + 10) = 5，解得x = 15。长为15,15,10的线段能够组成三角形。当BC + BD - (AD + AC) = 5时，10 + $\frac{1}{2}$x - ($\frac{1}{2}$x + x) = 5，解得x = 5。长为5,5,10的线段不能组成三角形。故这个三角形的腰长为15 cm。故答案为15。
　　　　　　　　　　　
易错警示：设等腰三角形的腰长是x cm，根据周长的其中一部分比另一部分长5 cm列方程求解即可，注意分类讨论，不要漏解。

6 [2025陕西西安期中,中]如图,在△ABC中,∠ABC= 75°,∠BAC= 30°.点P为直线BC上一动点,若以点P与△ABC三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三角形,那么满足条件的点P的位置有 ( )

A.4个
B.6个
C.8个
D.9个

答案：
C [解析]
∵在△ABC中，∠ABC = 75°，∠BAC = 30°，
∴∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 75° - 30° = 75°。如图，当∠CAP₁ = ∠CP₁A = $\frac{1}{2}$×75° = 37.5°时，△CAP₁为等腰三角形。当∠BAP₂ = ∠BP₂A = $\frac{1}{2}$×(180° - 75°) = 52.5°时，△BAP₂为等腰三角形。当∠P''AB = ∠P''BA = 75°时，△P''AB为等腰三角形。当P₃与C重合时，△ABP₃为等腰三角形。当P₄与B重合时，△ACP₄为等腰三角形。当∠P'AC = ∠P'CA = 75°时，△P'AC为等腰三角形。当∠CAP₅ = ∠CP₅A = $\frac{1}{2}$×(180° - 75°) = 52.5°时，△CAP₅为等腰三角形。当∠BAP₆ = ∠BP₆A = $\frac{1}{2}$×75° = 37.5°时，△BAP₆为等腰三角形。综上，满足条件的点P的位置有8个。故选C。

7 [较难]如图,在△ABC中,AB= BC,∠ABC= 100°,边BA绕点B顺时针旋转m°(0＜m＜180)得到线段BD,连接AD,DC.若△ADC为等腰三角形,则m所有可能的取值是______130或100或160.

答案： 130或100或160 [解析]由旋转的性质得BD = AB = BC。
∵△ADC为等腰三角形，
∴分三种情况:①当DA = DC时，易得△ABD≌△CBD，
∴∠ABD = ∠CBD = $\frac{1}{2}$(360° - ∠ABC) = 130°，
∴m = 130；②当AD = AC时，易得△ABD≌△ABC，
∴∠ABD = ∠ABC = 100°，
∴m = 100；③当CA = CD时，易得△CBA≌△CBD，
∴∠CBD = ∠ABC = 100°，
∴∠ABD = 360° - 100° - 100° = 160°，
∴m = 160。综上所述，m所有可能的取值为130或100或160。故答案为130或100或160。

8 [2025贵州贵阳期末,中]如图,在Rt△ABC中(AB＞2BC),∠C= 90°,以BC为边作等腰△BCD,使点D落在△ABC的边上,则点D的位置有 ( )


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案：
C [解析]如图，①以BC为腰时，以B为圆心、BC长为半径画圆，与AB有一个交点D₁；以C为圆心、BC长为半径画圆，与AB有一个交点，与AC有一个交点，分别为D₂,D₃。②以BC为底时，作BC的垂直平分线，与AB有一个交点D₄。综上可知，点D的位置有4个，故选C。
　　　　　　　　　　

9 [中]如图,有一个三角形纸片ABC,BC为最长边,∠A= 80°,点D是AC边上一点,沿BD方向将三角形纸片剪开后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是______.

25°或40°

答案： 25°或40° [解析]由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB = BD，此时∠ADB = ∠A = 80°，
∴∠BDC = 180° - ∠ADB = 180° - 80° = 100°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$(180° - 100°) = 40°；②AB = AD，此时∠ADB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = $\frac{1}{2}$(180° - 80°) = 50°，
∴∠BDC = 180° - ∠ADB = 180° - 50° = 130°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$(180° - 130°) = 25°；③AD = BD，此时∠ADB = 180° - 2×80° = 20°，
∴∠BDC = 180° - ∠ADB = 180° - 20° = 160°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$(180° - 160°) = 10°。此时∠ABC = 90°，则AC为最长边，与BC为最长边矛盾，故舍去。综上所述，∠C的度数可以为25°或40°。故答案为25°或40°。