《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

6[2025湖北天门期中,较难]已知CD是经过$∠NCM$的顶点C的一条直线,A,B分别在CM,CN上,且$CA= CB$,E,F是直线CD上两点,且$∠BEC= ∠CFA= ∠α$.
(1)若直线CD经过$∠BCA$的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面的问题:
①如图(1),若$∠BCA= 90^{\circ },∠α=90^{\circ }$,请探索三条线段EF,BE,AF之间的数量关系,并证明你的结论.
②如图(2),若$0^{\circ }＜∠BCA＜180^{\circ }$,请添加一个关于$∠α与∠BCA$关系的条件:∠α + ∠ACB=180°,使①中的结论仍然成立.
(2)如图(3),若直线CD经过$∠BCA$的外部,E在F的左侧,$∠α=∠BCA$,请写出三条线段EF,BE,AF之间的数量关系,并证明你的结论.



【解】(1)①EF=|BE - AF|。证明：如题图(1)，当E在F的左侧时，∵∠BEC=∠CFA=∠α=∠BCA=90°，∴∠BCE + ∠ACF=90°，∠CBE + ∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACF。在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBE=∠ACF,\\ ∠BEC=∠CFA,\\ BC=CA,\end{array}\right. $∴△BCE≌△CAF(AAS)，∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF - CE=BE - AF。如图，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF - BE，∴EF=|BE - AF|。
(2)EF=BE + AF。证明：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠EBC + ∠BCE + ∠BEC=180°，∠BCE + ∠ACF + ∠BCA=180°，∴∠EBC=∠ACF。在△BEC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EBC=∠FCA,\\ ∠BEC=∠CFA,\\ BC=CA,\end{array}\right. $∴△BEC≌△CFA(AAS)，∴AF=CE，BE=CF，∴EF=CF + CE=BE + AF。

答案： 【解】
(1)①EF=|BE - AF|。证明：如题图
(1)，当E在F的左侧时，
∵∠BEC=∠CFA=∠α=∠BCA=90°，
∴∠BCE + ∠ACF=90°，∠CBE + ∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF。在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBE=∠ACF,\\ ∠BEC=∠CFA,\\ BC=CA,\end{array}\right. $
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF - CE=BE - AF。如图，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF - BE，
∴EF=|BE - AF|。
②∠α + ∠ACB=180°时，①中的结论仍然成立。当E在F的左侧时，
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α + ∠ACB=180°，
∴∠CBE + ∠BCE=180° - ∠α，∠ACF + ∠BCE=180° - ∠α，
∴∠CBE=∠ACF。在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBE=∠ACF,\\ ∠BEC=∠CFA,\\ BC=CA,\end{array}\right. $
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF - CE=BE - AF。当E在F的右侧时，同理可证EF=AF - BE，
∴EF=|BE - AF|。故答案为∠α + ∠ACB=180°。
(2)EF=BE + AF。证明：
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠EBC + ∠BCE + ∠BEC=180°，∠BCE + ∠ACF + ∠BCA=180°，
∴∠EBC=∠ACF。在△BEC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EBC=∠FCA,\\ ∠BEC=∠CFA,\\ BC=CA,\end{array}\right. $
∴△BEC≌△CFA(AAS)，
∴AF=CE，BE=CF，
∴EF=CF + CE=BE + AF。

7[中]【问题背景】如图(1),在四边形ABCD中,$AB= AD,∠BAD= 120^{\circ },∠B= ∠ADC= 90^{\circ }$,E,F分别是BC,CD上的点,且$∠EAF= 60^{\circ }$,试探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G,使$DG= BE$,连接AG,先说明$△ABE\cong △ADG$,再说明$△AEF\cong △AGF$,可得出结论,他的结论应是____EF=BE + DF.
【探索延伸】(2)如图(2),若在四边形ABCD中,$AB= AD,∠B+∠D= 180^{\circ }$,E,F分别是BC,CD上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$,则上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【学以致用】(3)如图(3),四边形ABCD是边长为5的正方形,$∠EBF= 45^{\circ }$,请直接写出$△DEF$的周长.10

答案： 【解】
(1)在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l} BE=DG,\\ ∠B=∠ADG,\\ AB=AD,\end{array}\right. $所以△ABE≌△ADG(SAS)，所以AE=AG，∠BAE=∠DAG。因为∠BAD=120°，∠EAF=60°，所以∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，所以∠GAF=∠DAG + ∠DAF=∠BAE + ∠DAF=∠BAD - ∠EAF=∠EAF。在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $所以△AEF≌△AGF(SAS)，所以EF=FG。因为FG=DG + DF=BE + DF，所以EF=BE + DF。故答案为EF=BE + DF。
(2)结论EF=BE + DF仍然成立。理由：如图
(1)，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG。因为∠B + ∠CDA=180°，∠ADG + ∠CDA=180°，所以∠B=∠ADG。在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l} BE=DG,\\ ∠B=∠ADG,\\ AB=AD,\end{array}\right. $所以△ABE≌△ADG(SAS)，所以AE=AG，∠BAE=∠DAG。因为∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，所以∠GAF=∠DAG + ∠DAF=∠BAE + ∠DAF=∠BAD - ∠EAF=∠EAF。在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $所以△AEF≌△AGF(SAS)，所以EF=FG。因为FG=DG + DF=BE + DF，所以EF=BE + DF。
(3)△DEF的周长是10。如图
(2)，延长DC到点G，使CG=AE，连接BG。因为四边形ABCD是正方形，所以∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC。在△AEB与△CGB中，$\left\{\begin{array}{l} AE=CG,\\ ∠A=∠BCG,\\ AB=CB,\end{array}\right. $所以△AEB≌△CGB(SAS)，所以BE=BG，∠ABE=∠CBG。因为∠EBF=45°，∠ABC=90°，所以∠ABE + ∠CBF=45°，所以∠CBF + ∠CBG=45°，所以∠EBF=∠GBF。在△EBF与△GBF中，$\left\{\begin{array}{l} BE=BG,\\ ∠EBF=∠GBF,\\ BF=BF,\end{array}\right. $所以△EBF≌△GBF(SAS)，所以EF=GF，所以△DEF的周长为EF + ED + DF=AE + CF + ED + DF=AD + CD=5 + 5=10。