《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

计算$(2.5×10^{3})^{3}×(-0.8×10^{2})^{2}$的结果是 (D)
A.$6×10^{13}$
B.$-6×10^{13}$
C.$2×10^{13}$
D.$10^{14}$

答案： D 【解析】原式=15.625×10⁹×0.64×10⁴=10×10¹³=10¹⁴. 故选 D.

若单项式$-3x^{4a - b}y^{2}与\frac{1}{3}x^{3}y^{a + b}$是同类项,那么这两个单项式的积是 (D)
A.$x^{6}y^{4}$
B.$-x^{3}y^{2}$
C.$-\frac{8}{3}x^{3}y^{2}$
D.$-x^{6}y^{4}$

答案： 1. 首先，根据同类项的定义：
同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
对于单项式$-3x^{4a - b}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{3}y^{a + b}$，可得方程组$\begin{cases}4a - b = 3\\a + b = 2\end{cases}$。
解方程组：
将两个方程相加消去$b$，$(4a - b)+(a + b)=3 + 2$。
化简得$4a - b+a + b=5$，即$5a=5$，解得$a = 1$。
把$a = 1$代入$a + b = 2$，得$1 + b = 2$，解得$b = 1$。
2. 然后，确定两个单项式：
当$a = 1$，$b = 1$时，$-3x^{4a - b}y^{2}=-3x^{3}y^{2}$，$\frac{1}{3}x^{3}y^{a + b}=\frac{1}{3}x^{3}y^{2}$。
3. 最后，计算两个单项式的积：
根据单项式乘法法则$m\cdot n=(m_1x^{p_1}y^{q_1})\cdot(m_2x^{p_2}y^{q_2})=(m_1\cdot m_2)x^{p_1 + p_2}y^{q_1+q_2}$（$m = m_1x^{p_1}y^{q_1}$，$n = m_2x^{p_2}y^{q_2}$）。
则$(-3x^{3}y^{2})\cdot(\frac{1}{3}x^{3}y^{2})=(-3×\frac{1}{3})x^{3 + 3}y^{2+2}$。
计算得$-x^{6}y^{4}$。
所以这两个单项式的积是$-x^{6}y^{4}$，答案是D。

3 计算$(-2xy^{2})^{3}\cdot (-\frac{1}{3}x^{2}y)$的结果是$\frac{8}{3}x^{5}y^{7}$.

答案： $(-2xy^{2})^{3}\cdot (-\frac{1}{3}x^{2}y)$
$=-8x^{3}y^{6}\cdot (-\frac{1}{3}x^{2}y)$
$=\frac{8}{3}x^{5}y^{7}$
$\frac{8}{3}x^{5}y^{7}$

4 计算:
(1)$(2t^{3})^{2}-(-2t)^{2}\cdot t^{4}$.
(2)$x^{3}y\cdot x^{3}y^{2}-(-2x^{2}y)^{3}$.
(3)$(-2x^{3})^{2}+x^{2}(-3x^{2})^{2}$.
(4)$2x^{5}\cdot (-x)^{2}-(-2x^{2})^{3}\cdot (-\frac{1}{2}x)$.

答案： 1. （1）
解：
先根据积的乘方公式$(ab)^n = a^n b^n$和幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$计算：
$(2t^{3})^{2}=2^{2}\cdot(t^{3})^{2}=4t^{6}$，$(-2t)^{2}=(-2)^{2}\cdot t^{2}=4t^{2}$。
则$(2t^{3})^{2}-(-2t)^{2}\cdot t^{4}=4t^{6}-4t^{2}\cdot t^{4}$。
再根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$：
$4t^{2}\cdot t^{4}=4t^{2 + 4}=4t^{6}$。
所以$4t^{6}-4t^{6}=0$。
2. （2）
解：
先根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$和积的乘方公式$(ab)^n = a^n b^n$：
$x^{3}y\cdot x^{3}y^{2}=x^{3 + 3}y^{1+2}=x^{6}y^{3}$，$(-2x^{2}y)^{3}=(-2)^{3}\cdot(x^{2})^{3}\cdot y^{3}=-8x^{6}y^{3}$。
则$x^{3}y\cdot x^{3}y^{2}-(-2x^{2}y)^{3}=x^{6}y^{3}-(-8x^{6}y^{3})$。
去括号得$x^{6}y^{3}+8x^{6}y^{3}$。
合并同类项得$(1 + 8)x^{6}y^{3}=9x^{6}y^{3}$。
3. （3）
解：
先根据积的乘方公式$(ab)^n = a^n b^n$和幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(-2x^{3})^{2}=(-2)^{2}\cdot(x^{3})^{2}=4x^{6}$，$(-3x^{2})^{2}=(-3)^{2}\cdot(x^{2})^{2}=9x^{4}$。
则$(-2x^{3})^{2}+x^{2}(-3x^{2})^{2}=4x^{6}+x^{2}\cdot9x^{4}$。
再根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$：
$x^{2}\cdot9x^{4}=9x^{2 + 4}=9x^{6}$。
所以$4x^{6}+9x^{6}=(4 + 9)x^{6}=13x^{6}$。
4. （4）
解：
先根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$和同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$：
$(-x)^{2}=x^{2}$，$2x^{5}\cdot(-x)^{2}=2x^{5}\cdot x^{2}=2x^{5+2}=2x^{7}$，$(-2x^{2})^{3}=(-2)^{3}\cdot(x^{2})^{3}=-8x^{6}$。
则$(-2x^{2})^{3}\cdot(-\frac{1}{2}x)=(-8x^{6})\cdot(-\frac{1}{2}x)$。
再根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$：
$(-8x^{6})\cdot(-\frac{1}{2}x)=(-8)×(-\frac{1}{2})x^{6 + 1}=4x^{7}$。
所以$2x^{5}\cdot(-x)^{2}-(-2x^{2})^{3}\cdot(-\frac{1}{2}x)=2x^{7}-4x^{7}$。
合并同类项得$(2-4)x^{7}=-2x^{7}$。
综上，（1）答案为$0$；（2）答案为$9x^{6}y^{3}$；（3）答案为$13x^{6}$；（4）答案为$-2x^{7}$。

5 先化简,再求值:$(-2a^{2}b^{3})\cdot (-ab^{2})^{2}+(-\frac{1}{2}a^{2}b^{3})^{2}\cdot 4b$,其中$a = 2,b = 1$.

答案： 【解】原式=-2a²b³·a²b⁴+$\frac{1}{4}$a⁴b⁶·4b=-2a⁴b⁷+a⁴b⁷=-a⁴b⁷.
当a=2,b=1时,原式=-2⁴×1⁷=-16.

6 已知$x^{n}= 2,y^{n}= 3$.
(1)求$(-xy)^{2n}\cdot \frac{1}{4}x^{2n}y^{n}$的值;
(2)若$x^{3n + 1}\cdot y^{3n + 1}= 64$,求$xy$的值.

答案： 【解】
(1)
∵xⁿ=2,yⁿ=3,
∴(-xy)²ⁿ·$\frac{1}{4}$x²ⁿyⁿ=x²ⁿy²ⁿ·$\frac{1}{4}$x²ⁿyⁿ=$\frac{1}{4}$x⁴ⁿy³ⁿ=$\frac{1}{4}$(xⁿ)⁴(yⁿ)³=$\frac{1}{4}$×2⁴×3³=4×27=108.
(2)
∵x³ⁿ⁺¹·y³ⁿ⁺¹=64,
∴x³ⁿ·y³ⁿ·xy=64,
∴(xⁿ)³·(yⁿ)³·xy=64.
∵xⁿ=2,yⁿ=3,
∴2³×3³·xy=64,
∴xy=$\frac{8}{27.}$

7 若$x^{3}\cdot x^{m}y^{2n}= x^{9}y^{8}$,则$4m - 3n= $ (D)
A.8
B.9
C.10
D.12

答案： D 【解析】
∵x³·xᵐy²ⁿ=x³⁺ᵐy²ⁿ=x⁹y⁸,
∴3+m=9,2n=8,
∴m=6,n=4,
∴4m-3n=24-12=12. 故选 D.

8 [2024 湖南衡阳期中]已知单项式$3x^{2}y^{3}与-2xy^{2}的积为mx^{3}y^{n}$,那么$m,n$的值为 (B)
A.$m = -6,n = 6$
B.$m = -6,n = 5$
C.$m = 1,n = 6$
D.$m = 1,n = 5$

答案： B 【解析】由题意得3x²y³×(-2xy²)=mx³yⁿ,
∴-6x³y⁵=mx³yⁿ,
∴m=-6,n=5. 故选 B.

9 [2025 湖南衡阳校级质检]“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,如:已知$mn = 4$,则$2(mn\cdot 3m)\cdot 3(2n\cdot mn)$的值为______2304.

答案： 2 304 【解析】2(mn·3m)·3(2n·mn)=36m³n³=36(mn)³=36×4³=36×64=2 304. 故答案为2 304.

如图是某拱形门示意图,它是由上、下两部分组成的. 上面是半圆,半圆的直径为$x$m;下面是长方形,宽为$x$m,长是宽的 2 倍. 这个拱形门的面积可表示为$\left(\frac{\pi}{8}+2\right)x^2$$m^{2}$. (结果保留$π$)

答案： $\frac{1}{2}\pi×\left(\frac{x}{2}\right)^2+x×2x=\frac{\pi}{8}x^2+2x^2=\left(\frac{\pi}{8}+2\right)x^2$

11 已知$a^{2n}= 4,b^{2n}= 9$,则$a^{n}\cdot b^{n}$的值为__6或-6__.

答案： 6或-6 【解析】
∵a²ⁿ=4,b²ⁿ=9,
∴(aⁿ)²=4,(bⁿ)²=9,
∴aⁿ=±2,bⁿ=±3,
∴aⁿ·bⁿ的值为6或-6. 故答案为6或-6.