《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2025 黑龙江大庆校级期中]如图,有一个直角三角形纸板破损了一个角,如果把它补成完整的三角形纸板,需要补的角的度数是 (B)

A.$45^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$25^{\circ}$

答案： B 【解析】
∵ 直角三角形的两锐角互余，
∴ 需要补的角的度数为$90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }$，故选 B.

在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 2\angle B$,则 $\angle A = $ (A)
A.$60^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： A 【解析】在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，
∴$∠A+∠B=90^{\circ }$.$\because$$∠A=2∠B$，
∴$3∠B=90^{\circ }$，$\therefore$$∠B=30^{\circ }$，$\therefore$$∠A=60^{\circ }$.故选 A.

如图,在直角三角形 $ABC$ 中, $\angle BAC = 90^{\circ}$, $AC \neq AB$, $DE \perp AC$, $DF \perp AB$, $AD \perp BC$,则图中与 $\angle C$ ( $\angle C$ 除外)相等的角的个数是 (A)
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个

答案： A 【解析】$\because$$∠BAC=90^{\circ }$，$AD⊥BC$，$DF⊥AB$，$\therefore$$∠C+∠B=90^{\circ }$，$∠BAD+∠B=90^{\circ }$，$∠BDF+∠B=90^{\circ }$，$\therefore$$∠C=∠BDF=∠BAD$.同理，$∠DAC+∠C=90^{\circ }$，$∠DAC+∠ADE=90^{\circ }$，$\therefore$$∠C=∠ADE$，$\therefore$题图中与$∠C$（$∠C$除外）相等的角的个数是 3 个，故选 A.

4 如图,小明在计算机上用“几何画板”画了一个 $Rt\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$,并画出了两锐角的平分线 $AD$, $BE$ 及其交点 $F$. 小明发现,无论怎样变动 $Rt\triangle ABC$ 的形状和大小, $\angle AFB$ 的度数是定值. 这个定值为$135^{\circ }$.

答案： $135^{\circ }$【解析】$\because$$∠C=90^{\circ }$，$\therefore$$∠CAB+∠CBA=90^{\circ }$.$\because$AD 平分$∠CAB$，BE 平分$∠ABC$，$\therefore$$∠FAB=\frac {1}{2}∠CAB$，$∠FBA=\frac {1}{2}∠CBA$，$\therefore$$∠FAB+∠FBA=\frac {1}{2}(∠CAB+∠CBA)=45^{\circ }$，$\therefore$$∠AFB=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.故答案为$135^{\circ }$.

5 [2025 辽宁鞍山质检]如图, $\triangle ABC$ 是直角三角形, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$,过 $AB$ 边上一点 $D$ 剪下 $\triangle ADE$,点 $E$ 在 $AC$ 上,当 $\triangle ADE$ 是直角三角形时, $\angle AED$ 的度数是______.

答案：
$60^{\circ }$或$90^{\circ }$【解析】当点 D 为直角顶点时，如图（1）所示，则$∠ADE=90^{\circ }$.$\because$$∠A=30^{\circ }$，$\therefore$$∠AED=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

思路分析
分两种情况讨论：点 D 为直角顶点；点 E 为直角顶点.
易错警示
没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，本题可分为以下两种情况：①$∠C=90^{\circ }$；②$∠B=90^{\circ }$.注意不要漏解.
当点 E 为直角顶点时，如图（2）所示，则$∠AED=90^{\circ }$.综上，$∠AED$的度数为$60^{\circ }$或$90^{\circ }$.

6 [2024 陕西汉中期末]如图,在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAC = 90^{\circ}$, $BD$ 平分 $\angle ABC$.
(1)若 $\angle C = 40^{\circ}$,求 $\angle ADB$ 的度数.
(2)在图中画出 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的高 $AE$,与 $BD$ 交于点 $F$. 试说明:① $\angle BAE = \angle C$;② $\angle AFD = \angle ADF$.

答案：
【解】（1）在$\triangle ABC$中，$∠BAC=90^{\circ }$，$∠C=40^{\circ }$，$\therefore$$∠ABC=90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$.$\because$BD 平分$∠ABC$，$\therefore$$∠ABD=∠DBC=\frac {1}{2}∠ABC=25^{\circ }$，$\therefore$$∠ADB=90^{\circ }-∠ABD=65^{\circ }$.
（2）如图所示.①$\because$AE 是 BC 边上的高线，

$\therefore$$∠AEC=90^{\circ }$，$\therefore$$∠C+∠CAE=90^{\circ }$.$\because$$∠BAC=90^{\circ }$，$\therefore$$∠BAE+∠CAE=90^{\circ }$，$\therefore$$∠BAE=∠C$.②$\because$AE 是 BC 边上的高线，$\therefore$$∠AEB=90^{\circ }$，$\therefore$$∠DBC+∠BFE=90^{\circ }$.$\because$$∠BFE=∠AFD$，$∠ABD=∠DBC$，$\therefore$$∠AFD+∠ABD=90^{\circ }$.$\because$$∠ABD+∠ADF=90^{\circ }$，$\therefore$$∠AFD=∠ADF$.

7 [2025 浙江宁波质检]如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle B = 90^{\circ}$,直线 $DE$ 与 $AC$, $BC$ 分别交于 $D$, $E$ 两点. 若 $\angle DEC = \angle A$,则 $\triangle EDC$ 是 (B)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断

答案： B 【解析】在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$∠B=90^{\circ }$，$\therefore$$∠A+∠C=90^{\circ }$.$\because$$∠DEC=∠A$，$\therefore$$∠DEC+∠C=90^{\circ }$，$\therefore$$\triangle EDC$是直角三角形.故选 B.

8 [2024 福建莆田校级调研]如图, $CE \perp AD$,垂足为 $E$, $\angle A = \angle C$. 求证: $\triangle ABD$ 是直角三角形.

答案： 【证明】$\because$$CE⊥AD$，$\therefore$$∠CED=90^{\circ }$，$\therefore$$∠C+∠D=90^{\circ }$.$\because$$∠A=∠C$，$\therefore$$∠A+∠D=90^{\circ }$，$\therefore$$∠ABD=90^{\circ }$，$\therefore$$\triangle ABD$是直角三角形.

在直角三角形 $ABC$ 中, $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : m : 3$,则 $m$ 的值是______2 或 4.

答案： 2 或 4 【解析】设$∠A=x^{\circ }$，$∠C=3x^{\circ }$.当$∠C=90^{\circ }$时，$3x^{\circ }=90^{\circ }$，解得$x=30$，$\therefore$$∠A=30^{\circ }$，$∠B=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$，$\therefore$$∠A:∠B:∠C=1:2:3$，$\therefore$$m=2$；当$∠B=90^{\circ }$时，$∠A+∠C=90^{\circ }$，即$x^{\circ }+3x^{\circ }=90^{\circ }$，解得$x=22.5$，$\therefore$$∠A=22.5^{\circ }$，$∠C=67.5^{\circ }$，$\therefore$$∠A:∠B:∠C=1:4:3$，$\therefore$$m=4$，故 m 的值是 2 或 4.