《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [中]一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“创新数”。例如$27 = 6^{2} - 3^{2}$,$63 = 8^{2} - 1^{2}$,故27,63都是“创新数”,下列各数中,不是“创新数”的是(D)
A.31
B.41
C.16
D.54

答案： 1. D 【解析】
∵$31=(16 + 15)×(16 - 15)=16^2 - 15^2$,$41=(21 + 20)×(21 - 20)=21^2 - 20^2$,$16=(5 + 3)×(5 - 3)=5^2 - 3^2$,54 不能表示成两个正整数的平方差，
∴31,41 和 16 是“创新数”，而 54 不是“创新数”. 故选 D.

如图,点$D$,$C$,$H$,$G在长方形ABJI$的边上,点$E$,$F在CD$上,若正方形$ABCD$的面积等于15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形$EFGH$的面积等于(A)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 2. A 【解析】设大、小正方形边长分别为 a,b，则有$a^2 = 15$，阴影部分面积为$\frac{1}{2}×(a + b)(a - b)=6$，即$a^2 - b^2 = 12$，可得$b^2 = 3$，即所求面积是 3. 故选 A.

$(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2^{2}})(1 + \frac{1}{2^{4}})(1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{15}} = $D
A.$2 - \frac{1}{2^{16}}$
B.$2 + \frac{1}{2^{16}}$
C.1
D.2

答案： 3. D 【解析】原式$=2×\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2^2}\right)\left(1 + \frac{1}{2^4}\right)\left(1 + \frac{1}{2^8}\right) + \frac{1}{2^{15}}=2×\left(1 - \frac{1}{2^{16}}\right) + \frac{1}{2^{15}}=2 - \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{15}}=2$，故选 D.

4 [中]阅读下列材料：已知实数$m$,$n满足(2m^{2} + n^{2} + 1)(2m^{2} + n^{2} - 1) = 80$,试求$2m^{2} + n^{2}$的值。
解：设$2m^{2} + n^{2} = t$,则原方程变为$(t + 1)(t - 1) = 80$,整理得$t^{2} - 1 = 80$,即$t^{2} = 81$,
$\therefore t = \pm9$。
$\because 2m^{2} + n^{2} \geq 0$,
$\therefore 2m^{2} + n^{2} = 9$。
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化。
根据上述材料,解决下列问题,并写出解答过程。
已知实数$x$,$y满足(2x^{2} + 2y^{2} + 3)(2x^{2} + 2y^{2} - 3) = 27$,求$x^{2} + y^{2}$的值。

答案： 4. 【解】设$2x^2 + 2y^2 = m$，则$(m + 3)(m - 3)=27$,
∴$m^2 - 9 = 27$，即$m^2 = 36$,
∴$m = ±6$.
∵$2x^2 + 2y^2≥0$,
∴$2x^2 + 2y^2 = 6$,
∴$x^2 + y^2 = 3$.

(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有①②③(填序号)。
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：$2024^{2} - 2023×2025$。
$2024^2 - 2023×2025=2024^2-(2024 - 1)×(2024 + 1)=2024^2-(2024^2 - 1)=2024^2 - 2024^2 + 1 = 1$
(3)【拓展】计算：$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)×…×(2^{64} + 1)$。
$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^8 - 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)(2^{64} + 1)=(2^{32} - 1)(2^{32} + 1)(2^{64} + 1)=(2^{64} - 1)(2^{64} + 1)=2^{128}-1$

答案： 5. 【解】（1）①左图阴影部分的面积为$a^2 - b^2$，右图阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$,
∴$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，故①可以验证平方差公式. ②左图阴影部分的面积为$a^2 - b^2$，右图阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$,
∴$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，故②可以验证平方差公式. ③左图阴影部分的面积为$a^2 - b^2$，右图阴影部分的面积为$(a + b)(a - b)$,
∴$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，故③可以验证平方差公式. ④左图阴影部分的面积为$(a + b)^2-(a - b)^2$，右图阴影部分的面积为$4ab$,
∴$(a + b)^2-(a - b)^2 = 4ab$，故④不能验证平方差公式. 综上所述，能验证平方差公式的有①②③，故答案为①②③.
（2）$2024^2 - 2023×2025=2024^2-(2024 - 1)×(2024 + 1)=2024^2-(2024^2 - 1)=2024^2 - 2024^2 + 1 = 1$.
（3）$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^8 - 1)(2^8 + 1)×\cdots×(2^{64} + 1)=(2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)(2^{64} + 1)=(2^{32} - 1)(2^{32} + 1)(2^{64} + 1)=(2^{64} - 1)(2^{64} + 1)=2^{128}-1$.