《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [中]若等式$(3x+5)^{2}(3x-5)^{2}= 81x^{4}-mx^{2}+n^{2}$成立,则(D)
A.$m= -30,n= 5$
B.$m= -30,n= -5$或 5
C.$m= -450,n= 25$或-25
D.$m= 450,n= 25$或-25

答案： D　[解析]因为(3x + 5)²(3x - 5)² = 81x⁴ - mx² + n²，即[(3x + 5)(3x - 5)]² = 81x⁴ - mx² + n²，所以(9x² - 25)² = 81x⁴ - mx² + n²，所以81x⁴ - 450x² + 625 = 81x⁴ - mx² + n²，即m = 450，n = ±25，故选D。

已知 M 是含字母 x 的单项式,要使多项式$16x^{2}+M+1$是某个多项式的平方,则 M 为±8x或64x⁴.

答案： ±8x或64x⁴　[解析]①
∵16x² + M + 1 = (4x)² + M + 1² = (4x ± 1)²，
∴M = ±2×4x×1 = ±8x。
　②
∵M + 16x² + 1 = M + 2×8x²×1 + 1² = (8x² + 1)²，
∴M = (8x²)² = 64x⁴。故答案为±8x或64x⁴。

3 [2025 江西抚州期中,中]为落实劳动素质教育,推动学生劳动实践的有效进行,某学校在校园开辟了劳动实践基地,如图是从实践基地中抽象出来的几何模型,两块边长分别为 m,n$(m＞n)$的正方形的重叠部分 B 为池塘,$S_{1},S_{2}$分别表示八年级和九年级的实践基地(阴影部分)的面积. 若$m+n= 8,mn= 15$,则$S_{1}-S_{2}= $16.

答案： 16　[解析]由题意得m² - S₁ = n² - S₂，
∴S₁ - S₂ = m² - n² = (m + n)(m - n)。
∵m + n = 8，mn = 15，
∴(m - n)² = (m + n)² - 4mn = 64 - 60 = 4。
∵m＞n，
∴m - n = 2，
∴S₁ - S₂ = 8×2 = 16。故答案为16。

4 新考法[2025 浙江杭州期中,中]如图(1),A、B、C 三种正方形的边长分别为 m,n,p,且$m+p＜n$.
(1)用两个 A 种正方形组合成图(2)的图形,外边框可以围成一个大正方形,则这个大正方形的面积为____.(用含 m 的代数式表示)
(2)将一个 A 种和一个 B 种正方形组合成图(3)的图形,外边框可以围成一个大正方形,用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为____或____,从而可以得到一个乘法公式:____.
(3)将一个 A 种、一个 B 种和一个 C 种正方形组合成图(4)的图形,外边框可以围成一个大正方形,类比(2)的思路进行思考,直接写出所得到的等式:____.
(4)用 A、B、C 三种正方形画出恰当的图形,说明$(n-m-p)^{2}＜n^{2}-m^{2}-p^{2}$.

答案：
[解]
(1)由题意得大正方形的边长为2m，则这个大正方形的面积为(2m)² = 4m²，故答案为4m²。
(2)方法一：这个大正方形的边长为m + n，则这个大正方形的面积为(m + n)²；
　方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，所以这个大正方形的面积为m² + n² + 2mn，从而可以得到一个乘法公式：(m + n)² = m² + n² + 2mn，故答案为(m + n)²，m² + n² + 2mn(前两个空的答案可以互换)，(m + n)² = m² + n² + 2mn。
(3)方法一：这个大正方形的边长为m + n + p，则这个大正方形的面积为(m + n + p)²；
　方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和，所以这个大正方形的面积为m² + n² + p² + 2mn + 2mp + 2np，则所得到的等式为(m + n + p)² = m² + n² + p² + 2mn + 2mp + 2np。故答案为(m + n + p)² = m² + n² + p² + 2mn + 2mp + 2np。
(4)如图(图形不唯一)，图形丁是边长为n - m - p的正方形，则图形丁的面积为(n - m - p)²。因为图形甲的面积为n² - m² - p²，所以(n - m - p)² ＜ n² - m² - p²。
　　　　　　

(1)从图(1)~(3)中任意选择一个,通过计算图中阴影部分的面积,可得到关于 a,b 的等量关系是(a + b)² = a² + 2ab + b²(选一个等式填空即可)。
(2)尝试解决:
①已知$m+n= 2,m^{2}+n^{2}= 7$,则$mn= $-$\frac{3}{2}$。
②已知$2a+b= 3,ab= 1$,求$(2a-b)^{2}$的值。
∵ab = 1，∴8ab = 8。∵(2a - b)² = (2a + b)² - 8ab，2a + b = 3，8ab = 8，∴(2a - b)² = 3² - 8 = 1。
③已知$(4-x)(5-x)= 6$,求$(4-x)^{2}+(5-x)^{2}$的值。
∵(4 - x) - (5 - x) = - 1，∴[(4 - x) - (5 - x)]² = 1。∵(4 - x)(5 - x) = 6，∴(4 - x)² + (5 - x)² = 1 + 2(4 - x)(5 - x) = 1 + 12 = 13。
(3)填数游戏:如图(4),把数字 1~9 填入构成三角形形状的 9 个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于 21,将每边四个数字的平方和分别记为 A,B,C,已知$A+B+C= 411$. 如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为 x,y,$x+y$,求 xy 的值.
数字1~9的和为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45。∵各边上的四个数字的和都等于21，21×3 - 45 = 18，∴x + y + (x + y) = 18，即x + y = 9。∵每边四个数字的平方和分别记为A，B，C，A + B + C = 411，且1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² = 285，∴x² + y² + (x + y)² = 411 - 285 = 126，∴x² + y² + 81 = 126，∴x² + y² = 45，∴(x + y)² - 2xy = 45，∴xy = 18。

答案： [解]
(1)题图
(1)：(a + b)² = a² + 2ab + b²；题图
(2)：(a - b)² = a² - 2ab + b²；题图
(3)：4ab = (a + b)² - (a - b)²。(选一个等式填空即可)
(2)①
∵m + n = 2，
∴(m + n)² = m² + 2mn + n² = 4。
∵m² + n² = 7，
∴7 + 2mn = 4，
∴mn = - $\frac{3}{2}$。故答案为 - $\frac{3}{2}$。
　　　　　　②
∵ab = 1，
∴8ab = 8。
∵(2a - b)² = (2a + b)² - 8ab，2a + b = 3，8ab = 8，
∴(2a - b)² = 3² - 8 = 1。
　　　　　　③
∵(4 - x) - (5 - x) = - 1，
∴[(4 - x) - (5 - x)]² = 1。
∵(4 - x)(5 - x) = 6，
∴(4 - x)² + (5 - x)² = 1 + 2(4 - x)(5 - x) = 1 + 12 = 13。
(3)数字1~9的和为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45。
∵各边上的四个数字的和都等于21，21×3 - 45 = 18，
∴x + y + (x + y) = 18，即x + y = 9。
　
　
　
∵每边四个数字的平方和分别记为A，B，C，A + B + C = 411，且1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² = 285，
∴x² + y² + (x + y)² = 411 - 285 = 126，
∴x² + y² + 81 = 126，
∴x² + y² = 45，
∴(x + y)² - 2xy = 45，
∴xy = 18。