《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2024 河南信阳期中] 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ \angle B = 15 ^ { \circ } $,$ A B $ 的垂直平分线交 $ B C $ 于点 $ D $,交 $ A B $ 于点 $ E $。若 $ D B = 12 \mathrm { ~cm } $,则 $ A C = $( )

A.$ 4 \mathrm { ~cm } $
B.$ 5 \mathrm { ~cm } $
C.$ 6 \mathrm { ~cm } $
D.$ 7 \mathrm { ~cm } $

答案：
C 【解析】连接 AD，如图.
∵ DE 是 AB 的垂直平分线，

∴ AD=DB=12 cm，
∴ ∠DAE=∠B=15°.又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠CAD=180°-∠C-∠B-∠DAE=60°，
∴ ∠ADC=30°.在直角三角形 ACD 中，AC=$\frac{1}{2}$AD=6 cm. 故选 C.

如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle A : \angle B : \angle B C A = 1 : 2 : 3 $,$ C D \perp A B $ 于点 $ D $,$ A B = 12 $,则 $ D B $ 等于(A)
A.3
B.4
C.6
D.9

答案： A 【解析】
∵ 在△ABC 中，∠A:∠B:∠BCA=1:2:3，
∴ ∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°.
∵ AB=12，
∴ BC=6.
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠BCD=30°，
∴ BD=3.

3 [2024 北京西城区期末] 如图,$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ \angle B = 30 ^ { \circ } $,$ A C = 2 $。$ D $ 为 $ B C $ 上一动点,连接 $ A D $,$ A D $ 的垂直平分线分别交 $ A C $,$ A B $ 于点 $ E $,$ F $,则线段 $ B F $ 长的最大值是( )

A.$ \frac { 1 } { 2 } $
B.$ \frac { 4 } { 3 } $
C.$ \frac { 8 } { 3 } $
D.4

答案：
C 【解析】过点 F 作 FH⊥BC 于 H，连接 DF，如图.
∵ EF 垂直平分 AD，
∴ AF=DF.设 AF=DF=x.
∵ ∠B=30°，∠C=90°，AC=2，

∴ AB=4，则 BF=4-x，
∴ FH=$\frac{1}{2}$BF=2-$\frac{1}{2}$x，
∴ x≥2-$\frac{1}{2}$x，解得 x≥$\frac{4}{3}$，
∴ AF 长的最小值为$\frac{4}{3}$，故 BF 长的最大值为 4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$. 故选 C.

4 [2025 黑龙江哈尔滨质检] 如图,一艘轮船以 15 海里/时的速度由南向北航行,在 $ A $ 处测得小岛 $ P $ 在北偏西 $ 15 ^ { \circ } $ 方向上,2 小时后,轮船在 $ B $ 处测得小岛 $ P $ 在北偏西 $ 30 ^ { \circ } $ 方向上,在小岛 $ P $ 周围 18 海里内有暗礁,若轮船继续向前航行,____触礁的危险。(填“有”或“无”)

答案：
有 【解析】如图，过点 P 作 PC⊥AB.
∵ ∠PBC=30°，∠PAB=15°，
∴ ∠APB=30°-15°=15°，
∴ ∠PAB=∠APB，

∴ PB=AB.
∵ AB=15×2=30(海里)，
∴ PB=30 海里，
∴ PC=$\frac{1}{2}$PB=15 海里.
∵ 15＜18，
∴ 有触礁的危险. 故答案为有.

5 如图,$ \angle M A N = 60 ^ { \circ } $,点 $ B $ 在射线 $ A M $ 上,且 $ A B = 2 $,点 $ C $ 在射线 $ A N $ 上。若 $ \triangle A B C $ 是锐角三角形,则 $ A C $ 的取值范围是____。

答案：
1＜AC＜4 【解析】如图，过点 B 作 BC₁⊥AN，垂足为 C₁，BC₂⊥AM，交 AN 于点 C₂.在 Rt△ABC₁ 中，

AB=2，∠A=60°，
∴ ∠ABC₁=30°，
∴ AC₁=$\frac{1}{2}$AB=1.在 Rt△ABC₂ 中，AB=2，∠A=60°，
∴ ∠AC₂B=30°，
∴ AC₂=2AB=4.当点 C 在 C₁ 和 C₂ 之间时，△ABC 是锐角三角形，
∴ AC 的取值范围是 1＜AC＜4. 故答案为 1＜AC＜4.

6 [2025 辽宁大连期末] 如图,在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,已知点 $ A $ 的坐标是 $ ( 0,9 ) $,以 $ O A $ 为边在其右侧作等边三角形 $ O A A _ { 1 } $,过 $ A _ { 1 } $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为点 $ O _ { 1 } $,以 $ O _ { 1 } A _ { 1 } $ 为边在其右侧作等边三角形 $ O _ { 1 } A _ { 1 } A _ { 2 } $,过点 $ A _ { 2 } $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为点 $ O _ { 2 } $,以 $ O _ { 2 } A _ { 2 } $ 为边在其右侧作等边三角形 $ O _ { 2 } A _ { 2 } A _ { 3 } $,…$ $,按此规律继续作下去,得到等边三角形 $ O _ { 2025 } A _ { 2025 } A _ { 2026 } $,则点 $ A _ { 2025 } $ 的纵坐标为____$9×\left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$。

答案： $9×\left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$ 【解析】
∵ 点 A 的坐标是(0，9)，以 OA 为边在其右侧作等边三角形 OAA₁，过点 A₁ 作 x 轴的垂线，垂足为点 O₁，
∴ ∠A₁OO₁=90°-60°=30°，∠OO₁A₁=90°，OA₁=OA=9，
∴ O₁A₁=$\frac{1}{2}$OA₁=9×$\frac{1}{2}$，
∴ 点 A₁ 的纵坐标是 9×$\frac{1}{2}$.
∵ 以 O₁A₁ 为边在其右侧作等边三角形 O₁A₁A₂，过点 A₂ 作 x 轴的垂线，垂足为点 O₂，
∴ ∠A₂O₁O₂=90°-60°=30°，∠O₁O₂A₂=90°，O₁A₂=O₁A₁=9×$\frac{1}{2}$，
∴ O₂A₂=$\frac{1}{2}$O₁A₂=9×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$，
∴ 点 A₂ 的纵坐标是 9×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$，即$9×\left(\frac{1}{2}\right)^2$.
∵ 以 O₂A₂ 为边在其右侧作等边三角形 O₂A₂A₃，同理，得点 A₃ 的纵坐标是$9×\left(\frac{1}{2}\right)^3$，
∴ 根据规律可知点 A₂₀₂₅ 的纵坐标是$9×\left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$. 故答案为$9×\left(\frac{1}{2}\right)^{2025}$.

7 [2024 江西南昌期中] 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle A = 90 ^ { \circ } $,$ \angle B = 30 ^ { \circ } $,$ A C = 6 \mathrm { ~cm } $,点 $ D $ 从点 $ A $ 出发以 $ 1 \mathrm { ~cm } / \mathrm { s } $ 的速度向点 $ C $ 运动,同时点 $ E $ 从点 $ C $ 出发以 $ 2 \mathrm { ~cm } / \mathrm { s } $ 的速度向点 $ B $ 运动,运动的时间为 $ t \mathrm { ~s } $,解决以下问题：
(1)当 $ t $ 为何值时,$ \triangle D E C $ 为等边三角形？
(2)当 $ t $ 为何值时,$ \triangle D E C $ 为直角三角形？

答案： 【解】
(1)根据题意可得 AD=t cm，CD=(6-t)cm，CE=2t cm.
∵ ∠A=90°，∠B=30°，AC=6 cm，
∴ BC=2AC=12 cm，∠C=90°-∠B=90°-30°=60°.
∵ △DEC 为等边三角形，
∴ CD=CE，
∴ 6-t=2t，
∴ t=2，
∴ 当 t 的值为 2 时，△DEC 为等边三角形.
(2)①当∠DEC 为直角时，∠EDC=30°，
∴ CE=$\frac{1}{2}$DC，
∴ 2t=$\frac{1}{2}$(6-t)，
∴ t=$\frac{6}{5}$；②当∠EDC 为直角时，∠DEC=30°，
∴ CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴ 6-t=$\frac{1}{2}×$2t，
∴ t=3，
∴ 当 t 的值为$\frac{6}{5}$或 3 时，△DEC 为直角三角形.