《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

若一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$(a,b是正整数)的形式,则称这个数为“美好数”。例如：因为$2= 1^{2}+1^{2}$,所以2是“美好数”。已知$S= x^{2}+2x+k$(其中x,k是整数),若S为“美好数”,则下列k的值中符合要求的是(C)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C 【解析】
∵ S 为"美好数",
∴ S 可以表示成两个正整数的平方的和. 当$k=5$时,$S=x^{2}+2x+k=x^{2}+2x+5=x^{2}+2x+1+4=(x+1)^{2}+2^{2}$,四个选项中只有 C 选项符合题意,故选 C.

已知$a= 2023x+2022$,$b= 2023x+2023$,$c= 2023x+2024$,则$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc$的值是(D)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D 【解析】$\because a=2023x+2022,b=2023x+2023,c=2023x+2024,\therefore a-b=(2023x+2022)-(2023x+2023)=2023x+2022-2023x-2023=-1,a-c=(2023x+2022)-(2023x+2024)=2023x+2022-2023x-2024=-2,b-c=(2023x+2023)-(2023x+2024)=2023x+2023-2023x-2024=-1,\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc=\frac {1}{2}[2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)]=\frac {1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc)=\frac {1}{2}[(a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})]=\frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}]=\frac {1}{2}×[(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}]=\frac {1}{2}×(1+4+1)=\frac {1}{2}×6=3$,故选 D.
关键点拨 对于$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc$,要用完全平方公式求值,需要将各项系数扩大2倍,然后再将整体乘$\frac {1}{2}$,再运用完全平方公式因式分解,根据已知条件可得$a-b,a-c,b-c$的值,然后代入求值.

3[较难]同号两实数a,b满足$a^{2}+b^{2}= 4-2ab$,若$a-b$为整数,则ab的值为(A)
A.1或$\frac {3}{4}$
B.1或$\frac {5}{4}$
C.2或$\frac {3}{2}$
D.2或$\frac {5}{2}$

答案： A 【解析】$\because a^{2}+b^{2}=4-2ab,\therefore (a+b)^{2}=4,\therefore (a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab=4-4ab≥0,\therefore ab≤1.\because ab＞0,\therefore 0＜ab≤1,\therefore 0≤4-4ab＜4.\because a-b$为整数,$4-4ab$为平方数,$\therefore 4-4ab=1$或 0,解得$ab=\frac {3}{4}$或 1. 故选 A.
关键点拨 把$(a-b)^{2}$用含 ab 的式子表示出来是解题关键.

4[中]一个长方形的长与宽分别为a,b,若周长为12,面积为5,则$ab^{3}+2a^{2}b^{2}+a^{3}b$的值为180。

答案： 180 【解析】
∵ 长方形的长与宽分别为 a,b,周长为 12,面积为 5,$\therefore ab=5,a+b=6$,则$ab^{3}+2a^{2}b^{2}+a^{3}b=ab(b^{2}+2ab+a^{2})=ab(a+b)^{2}=5×6^{2}=180$.故答案为 180.

5[中]若a,b,c是直角三角形ABC的三边长,且$a^{2}+b^{2}+c^{2}+200= 12a+16b+20c$,则$\triangle ABC$的面积为____24。

答案： 24 【解析】$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}+200=12a+16b+20c,\therefore a^{2}-12a+36+b^{2}-16b+64+c^{2}-20c+100=0,\therefore (a-6)^{2}+(b-8)^{2}+(c-10)^{2}=0,\therefore a-6=0,b-8=0,c-10=0,\therefore a=6,b=8,c=10$,
∴ 两直角边长分别为 6,8,则$\triangle ABC$的面积为$\frac {1}{2}×6×8=24.$

6[2025浙江绍兴期中,中]【阅读理解】如何将多项式$x^{2}+(p+q)x+pq$分解因式呢？我们知道$(x+p)(x+q)= x^{2}+(p+q)x+pq$,所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形,可得$x^{2}+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)$。例如：因为$(x+1)(x+2)= x^{2}+3x+2$,所以$x^{2}+3x+2= (x+1)(x+2)$。
上述过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项的系数,如图所示。
这样,我们可以得到$x^{2}+3x+2= (x+1)(x+2)$。

【迁移运用】利用上述的十字相乘法,将下列多项式分解因式：
(1)二次项系数为1 ①$x^{2}+7x+12$；②$x^{2}+5x+6$。
(2)二次项系数不为1 $4x^{2}-5x-6$。

答案： 【解】
(1)①$x^{2}+7x+12=(x+3)(x+4).$
②$x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).$
(2)$4x^{2}-5x-6=(4x+3)(x-2).$

7[2024湖南邵阳期末,中]先阅读材料,再回答问题：
分解因式：$(a-b)^{2}-2(a-b)+1$。
解：设$a-b= M$,则原式$=M^{2}-2M+1= (M-1)^{2}$。
再将$a-b= M$还原,得到原式$=(a-b-1)^{2}$。
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想解决下列问题：
(1)分解因式：$(x+y)(x+y-4)+4$。
(2)试说明：a为正整数时,$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方。

答案： 【解】
(1)设$M=x+y$,则原式$=M(M-4)+4=M^{2}-4M+4=(M-2)^{2}$.将$M=x+y$还原,可得原式$=(x+y-2)^{2}.$
(2)原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a^{2}-5a+4)(a^{2}-5a+6)+1$.
∵ a 为正整数,$\therefore (a-1)(a-4)=a^{2}-5a+4$是整数.设$N=a^{2}-5a+4$,则原式$=N(N+2)+1=N^{2}+2N+1=(N+1)^{2}$.
∵ N 为整数,$\therefore$原式$=(N+1)^{2}$为整数的平方.