《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [中]已知$a^{2}+a-4= 0$,那么代数式$(a^{2}-5)a$的值是 (B)
A.4
B.-4
C.2
D.-2

答案： 1. B 【解析】$\because a^{2}+a-4=0,\therefore a^{2}+a=4,a^{2}=4-a,\therefore (a^{2}-5)a=(4-a-5)a=(-1-a)a=-a^{2}-a=-(a^{2}+a)=-4$,故选 B.

如图所示,边长分别为$a和b$的两个正方形拼接在一起,则图中阴影部分的面积为 (A)
A.$\frac {1}{2}b^{2}$
B.$\frac {1}{2}a^{2}$
C.$\frac {1}{2}(a+b)$
D.$(a+b)^{2}$

答案： 2. A 【解析】先将原图形补成一个大的长方形,再用大长方形的面积减去阴影周围三个直角三角形的面积即可求解.题图中阴影部分的面积为$(a+b)b-\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a(a+b)-\frac{1}{2}a(b-a)=ab+b^{2}-\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}b^{2}$,故选 A.

3 [中]有一个魔术盒,当任意数对$(a,b)$进入其中时,会得到一个新的数$3b(a-2)$.现将数对$(m,2)$放入其中,得到数$n$,再将数对$(n,m)$放入其中后,得到的数是______.(用含$m$的代数式表示)
$18m^{2}-42m$

答案： 3.$18m^{2}-42m$【解析】当数对$(m,2)$放入魔术盒,得到的新数$n=3×2×(m-2)=6m-12$,把数对$(n,m)$放入魔术盒,得到的新数为$3m\cdot(n-2)=3m(6m-12-2)=3m(6m-14)=18m^{2}-42m$.故答案为$18m^{2}-42m$.

4 [较难]阅读下列文字,并解决问题.
已知$x^{2}y= 3$,求$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y-4x)$的值.
分析:因为满足$x^{2}y= 3的x,y$的值较多,不能逐一代入求解,所以考虑整体代入思想,将$x^{2}y= 3$整体代入.
解:$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y-4x)= 2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y= 2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y= 2×3^{3}-6×3^{2}-8×3= -24$.
请你用上述方法解决问题:已知$ab= 3$,求$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b+4a)(-2b)$的值.

答案： 4.【解】$\because ab=3,\therefore (2a^{3}b^{2}-3a^{2}b+4a)(-2b)=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab=-4×3^{3}+6×3^{2}-8×3=-78.$

5 [2025 安徽蚌埠期中,较难]学习代数式的值时,遇到这样一道题:“代数式$ax-y+6+3x-5y-1的值与x$的取值无关,求$a$的值”.通常的解题方法是把$x,y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项,即原式$=(a+3)x-6y+5$,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x项的系数为0$,所以$a+3= 0$,则$a= -3$.
(1)已知$A= 2x^{2}-(1-3n)x,B= -x^{2}+nx-1$,且$3A+6B的值与x$的取值无关,求$n$的值.
(2)有7张如图(1)的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照如图(2)的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的部分用阴影表示,设右上角的阴影部分的面积为$S_{1}$,左下角的阴影部分的面积为$S_{2}$,设$AB= x$,当$AB$的长变化时,$3S_{1}-4S_{2}$的值始终保持不变,请求出$\frac {a}{b}$的值.

答案： 5.【解】
(1)$\because A=2x^{2}-(1-3n)x,B=-x^{2}+nx-1,$$\therefore 3A+6B=3[2x^{2}-(1-3n)x]+6(-x^{2}+nx-1)=3(2x^{2}-x+3nx)+6(-x^{2}+nx-1)=6x^{2}-3x+9nx-6x^{2}+6nx-6=(-3+9n+6n)x-6=(15n-3)x-6.$$\because 3A+6B$的值与x的取值无关,$\therefore 15n-3=0,$$\therefore n=\frac{1}{5}.$
(2)由题图
(2)可知$S_{1}=a(x-3b),S_{2}=2b(x-2a),\therefore 3S_{1}-4S_{2}=3a(x-3b)-4×2b(x-2a)=(3a-8b)x+7ab.$$\because$当 AB 的长变化时,$3S_{1}-4S_{2}$的值始终保持不变,$\therefore 3S_{1}-4S_{2}$的值与x的取值无关,$\therefore 3a-8b=0,\therefore 3a=8b,$$\therefore \frac{a}{b}=\frac{8}{3}.$

(1)3与2是关于1的单位数,$x-3$与$x-4$(填一个含$x$的式子)是关于1的单位数.
(2)若$A= 3x(x+2)-1,B= 2(\frac {3}{2}x^{2}+3x-1)$,判断$A与B是不是关于1$的单位数,并说明理由.
【解】A 与 B 是关于1的单位数.理由如下:$\because A-B=3x(x+2)-1-2(\frac{3}{2}x^{2}+3x-1)=3x^{2}+6x-1-3x^{2}-6x+2=1,$$\therefore$A 与 B 是关于1的单位数.

答案： 6.
(1)2 x-4 【解析】$3-2=1$,$\therefore$3 与 2 是关于1的单位数.设$x-3$与 M 是关于1的单位数,则$x-3-M=1,\therefore M=x-4$.故答案为2,x-4.
(2)【解】A 与 B 是关于1的单位数.理由如下:$\because A-B=3x(x+2)-1-2(\frac{3}{2}x^{2}+3x-1)=3x^{2}+6x-1-3x^{2}-6x+2=1,$$\therefore$A 与 B 是关于1的单位数.