《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1[中]如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE= AB,∠BAC= ∠BCA,试说明：AE= 2AD.

答案：
1. 首先，延长$AD$到$F$，使$DF = AD$，连接$CF$：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle FCD$中：
$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle ADB=\angle FDC\\AD = FD\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle FCD$。
由全等三角形的性质可知：$AB = CF$，$\angle B=\angle FCD$。
2. 然后，进行角度和边的转化：
已知$AB = CE$，所以$CF = CE$。
因为$\angle BAC=\angle BCA$，$\angle ACE = 180^{\circ}-\angle BCA$，$\angle FCA=\angle FCD+\angle DCA$，$\angle B+\angle BAC+\angle BCA = 180^{\circ}$，$\angle B=\angle FCD$，所以$\angle ACE=\angle FCA$。
3. 最后，证明$\triangle ACF\cong\triangle ACE$：
在$\triangle ACF$和$\triangle ACE$中：
$\left\{\begin{array}{l}CF = CE\\\angle FCA=\angle ECA\\AC = AC\end{array}\right.$。
根据$SAS$定理，可得$\triangle ACF\cong\triangle ACE$。
由全等三角形的性质可知$AE = AF$。
又因为$AF = AD + FD$，且$AD = FD$，所以$AE = 2AD$。
综上，$AE = 2AD$得证。

2[2025江苏南京质检,较难](1)如图(1),在△ABC中,AB= 9,AC= 5,求BC边上的中线AD的取值范围.
(2)如图(2),AD是△ABC的中线,AB= AE,AC= AF,∠BAE= ∠FAC= 90°,试探究线段AD与EF的数量和位置关系,并加以证明.

答案：
1. （1）
解：延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
因为$BD = CD$，$\angle BDE=\angle CDA$，$DE = AD$，所以$\triangle BDE\cong\triangle CDA(SAS)$。
则$BE = AC = 5$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系$\vert AB - BE\vert\lt AE\lt AB + BE$。
已知$AB = 9$，$BE = 5$，所以$\vert9 - 5\vert\lt AE\lt9 + 5$，即$4\lt AE\lt14$。
又因为$AE = 2AD$，所以$2\lt AD\lt7$。
2. （2）
解：$EF = 2AD$，$AD\perp EF$。
证明：延长$AD$到点$M$，使$DM = AD$，连接$BM$。
因为$BD = CD$，$\angle BDM=\angle CDA$，$DM = AD$，所以$\triangle BDM\cong\triangle CDA(SAS)$。
则$BM = AC$，$\angle MBD=\angle ACD$，所以$BM// AC$。
因为$AC = AF$，所以$BM = AF$。
因为$\angle BAE+\angle FAC = 180^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle EAF = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABM+\angle BAC = 180^{\circ}$（$BM// AC$），所以$\angle ABM=\angle EAF$。
又因为$AB = AE$，所以$\triangle ABM\cong\triangle EAF(SAS)$。
则$AM = EF$，$\angle BAM=\angle AEF$。
因为$AM = 2AD$，所以$EF = 2AD$。
因为$\angle BAM+\angle EAD = 90^{\circ}$，$\angle BAM=\angle AEF$，所以$\angle AEF+\angle EAD = 90^{\circ}$，即$\angle AHE = 90^{\circ}$（设$AD$与$EF$交点为$H$），所以$AD\perp EF$。
综上，（1）中$AD$的取值范围是$2\lt AD\lt7$；（2）中$EF = 2AD$且$AD\perp EF$。

3[中]如图,已知四边形ABCD中,AD//BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,求证：AB= BC+AD.

答案：
1. 首先，在$AB$上截取$AF = AD$：
因为$AE$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAE=\angle FAE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AF\\\angle DAE=\angle FAE\\AE = AE\end{array}\right.$（根据$SAS$判定定理）。
所以$\triangle ADE\cong\triangle AFE$，则$\angle ADE=\angle AFE$。
2. 然后，因为$AD// BC$：
所以$\angle ADE+\angle BCE = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$\angle AFE+\angle BFE = 180^{\circ}$，所以$\angle BCE=\angle BFE$。
3. 接着，因为$BE$平分$\angle ABC$：
所以$\angle CBE=\angle FBE$。
在$\triangle BCE$和$\triangle BFE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BCE=\angle BFE\\\angle CBE=\angle FBE\\BE = BE\end{array}\right.$（根据$AAS$判定定理）。
所以$\triangle BCE\cong\triangle BFE$，则$BC = BF$。
4. 最后：
因为$AB=BF + AF$，且$AF = AD$，$BC = BF$。
所以$AB=BC + AD$。
综上，$AB = BC + AD$得证。

4[中]如图,已知：在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,试说明：AB+BE= AC.

答案：
解：过$E$作$EF\perp AC$于$F$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$EB\perp AB$，$EF\perp AC$，根据角平分线的性质可知$BE = EF$。
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AE\\BE = EF\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle AFE(HL)$，则$AB = AF$。
又因为$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle EFC = 90^{\circ}$，所以$\triangle EFC$是等腰直角三角形，那么$EF = FC$，而$BE = EF$，所以$BE = FC$。
因为$AC=AF + FC$，$AB = AF$，$BE = FC$，所以$AB + BE=AC$。