《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2025上海虹口区期中,中]若$a$,$b$均为正整数,且满足$2^{a} + 2^{a} + 2^{a} + 2^{a} = 2^{b} × 2^{b} × 2^{b} × 2^{b}$,则$a与b$的关系是(D)
A.$a = 2b$
B.$2a = b + 4$
C.$a + 2 = b^{4}$
D.$a + 2 = 4b$

答案： D 【解析】$2^{a}+2^{a}+2^{a}+2^{a}=2^{a}×4=2^{a}×2^{2}=2^{a+2}$，$2^{b}×2^{b}×2^{b}×2^{b}=(2^{b})^{4}=2^{4b}$.
∵$2^{a}+2^{a}+2^{a}+2^{a}=2^{b}×2^{b}×2^{b}×2^{b}$，a，b 均为正整数，
∴$a+2=4b$，故选 D.

已知$25^{x} = a$,$5^{y} = b$,$125^{z} = ab$,那么$x$,$y$,$z$满足的等量关系是(C)
A.$2x + y = z$
B.$xy = 3z$
C.$2x + y = 3z$
D.$2xy = z$

答案： C 【解析】$25^{x}=(5^{2})^{x}=5^{2x}$，$125^{z}=(5^{3})^{z}=5^{3z}$.
∵$25^{x}=a$，$5^{y}=b$，$125^{z}=ab$，
∴$5^{2x}\cdot 5^{y}=5^{3z}$，
∴$2x+y=3z$，故选 C.

3 [中]设$a = 2^{55}$,$b = 3^{33}$,$c = 4^{22}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系是(D)
A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案： D 【解析】
∵$a=2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$，$b=3^{33}=(3^{3})^{11}=27^{11}$，$c=4^{22}=(4^{2})^{11}=16^{11}$，
∴$c\lt b\lt a$. 故选 D.

设$n$为正整数,若$64^{n} - 7^{n}$能被57整除,则$8^{2n + 1} + 7^{n + 2}$能被下列哪个数整除(C)
A.55
B.56
C.57
D.58

答案： C 【解析】$8^{2n+1}+7^{n+2}=8×8^{2n}+7^{2}×7^{n}=8×(8^{2})^{n}+7^{2}×7^{n}=8×64^{n}+49×7^{n}=8×64^{n}+(57-8)×7^{n}=8×64^{n}-8×7^{n}+57×7^{n}=8×(64^{n}-7^{n})+57×7^{n}$.
∵$64^{n}-7^{n}$能被 57 整除，
∴$8×(64^{n}-7^{n})$能被 57 整除. 又
∵$57×7^{n}$能被 57 整除，
∴$8×(64^{n}-7^{n})+57×7^{n}$能被 57 整除，即$8^{2n+1}+7^{n+2}$能被 57 整除，故选 C.

5 [中]若$x = 4^{m} + 1$,$y = 64^{m} - 3$,用含$x的代数式表示y$,则$y = $$(x-1)^{3}-3$。

答案： $(x-1)^{3}-3$ 【解析】
∵$x=4^{m}+1$，
∴$4^{m}=x-1$，
∴$64^{m}=4^{3m}=(4^{m})^{3}=(x-1)^{3}$，
∴$y=64^{m}-3=(x-1)^{3}-3$.

6 [中]已知$4^{2x} \cdot 5^{2x + 1} - 4^{2x + 1} \cdot 5^{2x} = 20^{3x - 4}$,则$x$的值为______4。

答案： 4 【解析】
∵$4^{2x}\cdot 5^{2x+1}-4^{2x+1}\cdot 5^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$5×4^{2x}\cdot 5^{2x}-4×4^{2x}\cdot 5^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$4^{2x}\cdot 5^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$20^{2x}=20^{3x-4}$，
∴$2x=3x-4$，
∴$x=4$.

7 [中]若$(ka^{m - n}b^{m + n})^{4} = 16a^{8}b^{16}$,则$k + m + n = $6。

答案：
(1)$2^{6}-2$
(2)$2^{26}-2^{21}$
(3)$2S^{2}-S$ 【解析】
(1)$2+2^{2}=2^{3}-2$，$2+2^{2}+2^{3}=2^{4}-2$，$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}=2^{5}-2$，…，$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{n}=2^{n+1}-2$，
∴$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=2^{6}-2$，故答案为$2^{6}-2$.
(2)$2^{21}+2^{22}+2^{23}+2^{24}+2^{25}=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{24}+2^{25}-(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{19}+2^{20})=2^{26}-2-(2^{21}-2)=2^{26}-2^{21}$，故答案为$2^{26}-2^{21}$.
(3)$2^{100}+2^{101}+2^{102}+\dots +2^{199}+2^{200}=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{199}+2^{200}-(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{98}+2^{99})=2^{201}-2-(2^{100}-2)=2^{201}-2^{100}$.
∵$2^{100}=S$，
∴这组数据的和为$2^{201}-2^{100}=2×(2^{100})^{2}-2^{100}=2S^{2}-S$.

(1)$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} = $$2^6 - 2$；
(2)$2^{21} + 2^{22} + 2^{23} + 2^{24} + 2^{25} = $$2^{26} - 2^{21}$；
(3)$2^{100}$,$2^{101}$,$2^{102}$,…,$2^{199}$,$2^{200}$,若设$2^{100} = S$,则这组数据的和用含$S$的式子表示为$2S^2 - S$。

答案： 【解析】：
本题主要考察幂的运算以及数列求和的知识点。
(1) 通过观察给出的等式，可以发现每个等式左边的加数都是2的幂次方，且从2开始连续相加，右边则是比左边最高次幂高1的2的幂次方减去2。因此，对于问题
(1)，只需要将左边的幂次方继续扩展到$2^5$，然后应用观察到的规律，即可得到右边为$2^6 - 2$。
(2) 对于问题
(2)，可以通过类似的方式，将左边的表达式看作是一个等比数列的和，然后利用等比数列求和公式，或者通过观察规律，得到右边为$2^{26} - 2^{21}$，进一步化简为$31×2^{21}$，也可以写成$2^{20}×31×2=2^{21}×31-2^{21}×(31-31)+ 2^{21}×31=2^{26} - 2^{21}$（这里通过添加和减去相同的项来展示与观察规律的契合，实际计算中可直接得出$31×2^{21}$）。
(3) 对于问题
(3)，需要将给定的数列看作是一个等比数列，首项为$2^{100}$，公比为2，项数为101项。然后利用等比数列求和公式，或者通过观察规律，将和表示为含$S$的式子。由于$2^{100} = S$，所以可以将和中的每一项都表示为$S$的幂次方形式，然后进行合并。
【答案】：
(1) $2^6 - 2$（或 $64 - 2 = 62$，但通常写为幂的形式以展示规律）
(2) $2^{26} - 2^{21}$（或 $31 × 2^{21}$）
(3) $2S^2 - S$（将原数列看作等比数列，首项为$S$，公比为2，项数为101，利用等比数列求和公式$S_n = a_1 × \frac{1-r^n}{1-r}$（其中$a_1$为首项，$r$为公比，$n$为项数），得到$S_{101} = S × \frac{2^{101}-1}{2-1} = S × (2^{101} - 1) = 2S^2 - S$（因为$2^{101} = 2 × 2^{100} = 2S$，所以$2S^2 - S$））

(1)若$n为不等式n^{200} ＞ 3^{300}$的解,则$n$的最小正整数值为6。
(2)若$x^{a} = 2$,$x^{b} = 3$,求$x^{3a + 2b}$的值。
当$x^{a}=2$，$x^{b}=3$时，$x^{3a+2b}=x^{3a}\cdot x^{2b}=(x^{a})^{3}\cdot (x^{b})^{2}=2^{3}×3^{2}=8×9=72$。
(3)计算：$2^{2023} × (\frac{1}{6})^{2022} × (-3)^{2021}$。
$2^{2023}×(\frac{1}{6})^{2022}×(-3)^{2021}=2^{2}×2^{2021}×(\frac{1}{6})^{2021}×\frac{1}{6}×(-3)^{2021}=4×\frac{1}{6}×(-3×2×\frac{1}{6})^{2021}=4×\frac{1}{6}×(-1)^{2021}=4×\frac{1}{6}×(-1)=-\frac{2}{3}$。

答案：
(1)6 【解析】
∵$n^{200}=(n^{2})^{100}$，$3^{300}=(3^{3})^{100}=27^{100}$，$n^{200}\gt3^{300}$，
∴$n^{2}\gt27$，故 n 的最小正整数值为 6. 故答案为 6.
(2)当$x^{a}=2$，$x^{b}=3$时，$x^{3a+2b}=x^{3a}\cdot x^{2b}=(x^{a})^{3}\cdot (x^{b})^{2}=2^{3}×3^{2}=8×9=72$.
(3)$2^{2023}×(\frac{1}{6})^{2022}×(-3)^{2021}=2^{2}×2^{2021}×(\frac{1}{6})^{2021}×\frac{1}{6}×(-3)^{2021}=4×\frac{1}{6}×(-3×2×\frac{1}{6})^{2021}=4×\frac{1}{6}×(-1)^{2021}=4×\frac{1}{6}×(-1)=-\frac{2}{3}$.

(1)计算$(8, 1000) - (32, 100000)$；
$(8,1000)-(32,100000)=(2^{3},10^{3})-(2^{5},10^{5})=(2,10)-(2,10)=0$
(2)请你证明下面这个等式：$(3, 2) + (3, 5) = (3, 10)$。
设$(3,2)=x$，$(3,5)=y$，则$3^{x}\cdot 3^{y}=3^{x+y}=2×5=10$，∴$(3,10)=x+y$，∴$(3,2)+(3,5)=(3,10)$

答案：
(1)【解】$(8,1000)-(32,100000)=(2^{3},10^{3})-(2^{5},10^{5})=(2,10)-(2,10)=0$.
(2)【证明】设$(3,2)=x$，$(3,5)=y$，则$3^{x}\cdot 3^{y}=3^{x+y}=2×5=10$，
∴$(3,10)=x+y$，
∴$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.