《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1[2024河北石家庄质检]课堂上老师在黑板上布置了如下题目,小聪马上发现了其中有一道题目错了,错误的题目是(C)
用平方差公式分解下列各式:
(1)$a^{2}-b^{2}$; (2)$49x^{2}-y^{2}z$;
(3)$-x^{2}-y^{2}$; (4)$16m^{2}n^{2}-25p^{2}$.
A.第(1)题 B.第(2)题
C.第(3)题 D.第(4)题

答案： C 【解析】
(1)
(2)
(4)都可以用平方差公式进行因式分解,
(3)不能用平方差公式进行因式分解,故选 C.

2[2024山东烟台期末]小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是$x^{□}-4y^{2}$(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有( )D
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种

答案： D 【解析】该指数可能是 2,4,6,8,10. 故选 D.

有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.例如:对多项式$a^{4}-b^{4}因式分解的结果是(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2})$,若取$a = 8,b = 8$,则各个因式的值是$a - b = 0,a + b = 16,a^{2} + b^{2} = 128$,把这些值从小到大排列得到016128,于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码.对于多项式$4x^{3}-xy^{2}$,若取$x = 21,y = 19$,请你写出一个用上述方法产生的密码:212361.

答案： 212361 【解析】$4x^{3}-xy^{2}=x(4x^{2}-y^{2})=x(2x-y)(2x+y)$,若取$x=21,y=19$,则$x=21,2x-y=42-19=23,2x+y=42+19=61$,把这些值从小到大排列得到 212361,故答案为 212361.

分解因式:$(x - y)^{4}-1= $$(x^{2}-2xy+y^{2}+1)(x-y+1)(x-y-1)$.

答案： $(x^{2}-2xy+y^{2}+1)(x-y+1)(x-y-1)$【解析】$(x-y)^{4}-1=[(x-y)^{2}]^{2}-1=[(x-y)^{2}+1][(x-y)^{2}-1]=(x^{2}-2xy+y^{2}+1)(x-y+1)(x-y-1).$易错警示 因式分解要分解到不能再分解为止,不能遗留仍然可以分解的因式.易错警示 注意先将式子化到最简,再求值.

5分解因式:
(1)$(3x + y)^{2}-(x - 3y)^{2}$; (2)$(x + 2)(x - 2)-5$.

答案： 【解】
(1)原式$=(3x+y+x-3y)(3x+y-x+3y)=(4x-2y)(2x+4y)=4(2x-y)(x+2y).$
(2)$(x+2)(x-2)-5=x^{2}-4-5=x^{2}-9=(x+3)(x-3).$

6[2024福建泉州期中]已知$4^{16}-1$可以被10到20之间的某两个整数整除,则这两个数是(D)
A.12,14
B.13,15
C.14,16
D.15,17

答案： D 【解析】原式$=(4^{8}+1)(4^{8}-1)=(4^{8}+1)(4^{4}+1)(4^{2}+1)(4^{2}-1)=(4^{8}+1)(4^{4}+1)×17×15$,
∴ 这两个数是 15 和 17. 故选 D.

7[2024四川成都质检]已知x,y满足方程组$\begin{cases}x - 3y = 4,\\x + 3y = - 5,\end{cases} 则4x^{2}-36y^{2}$的值为-80.

答案： -80 【解析】$4x^{2}-36y^{2}=4(x^{2}-9y^{2})=4(x-3y)(x+3y)=4×4×(-5)=-80$. 故答案为-80.

8[2025上海嘉定区期中]定义:如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差,且$m - n = 2$,则称这个正整数为“智慧优数”.例如:当$m = 3,n = 1$时,$m - n = 2$,且$8 = 3^{2}-1^{2}$,所以8是一个“智慧优数”,若将“智慧优数”从小到大排列,则第2024个“智慧优数”是____8100.

答案： 8100 【解析】$\because m-n=2,\therefore m=n+2,\therefore m^{2}-n^{2}=(n+2+n)(n+2-n)=4(n+1)$.
∵ m,n 都是正整数,
∴$n+1$是大于等于 2 的正整数,
∴$4(n+1)$是从 8 开始且能被 4 整除的正整数,
∴ 第 2024 个“智慧优数”是$4×(2024+1)=8100$,故答案为 8100.

9在实数范围内分解因式:$a^{4}-16b^{4}$.
丽华的解法如下:
解:原式$=(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-4b^{2})$.
请问丽华因式分解的结果正确吗?如果不正确,把正确的解题过程写出来.

答案： 【解】丽华因式分解的结果不正确. 正确的解题过程如下:原式$=(a^{2}+4b^{2})(a^{2}-4b^{2})=(a^{2}+4b^{2})\cdot (a+2b)(a-2b).$