《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2024 广东广州期末,中]如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在 x 轴正半轴上,$∠A= 90^{\circ }$,$OA= 2$,OB 平分$∠AOP$,则点$B(a-1,a-2)$关于 x 轴对称的点的坐标是 ( )

A.$(-2,1)$
B.$(3,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(3,-1)$

答案：
C 【解析】如图,过 B 点作 BC⊥x 轴于点 C.
∵ ∠A=90°,
∴ ∠A=∠OCB=90°.
∵ OB 平分 ∠AOP,
∴ ∠AOB=∠BOC. 又
∵ OB=OB,
∴ △OAB≌△OCB,
∴ OC=OA,即 a-1=2,解得 a=3,
∴ B(2,1).
∴ B(2,1)关于 x 轴对称的点的坐标是 (2,-1). 故选 C.

如图,正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为$(1,3)$,$AB// y轴且AB= 2$,规定把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折,再向左平移 1 个单位长度为 1 次变换,则连续经过 2 024 次变换后,正方形 ABCD 的顶点 B 的对应点的坐标为 ( B )
A.$(-2 023,-1)$
B.$(-2 023,1)$
C.$(-2 024,-1)$
D.$(-2 024,1)$

答案： B 【解析】
∵ 正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为 (1,3),AB//y 轴且 AB=2,
∴ B(1,1). 根据题意得,第 1 次变换后点 B 的对应点的坐标为 (0,-1),第 2 次变换后点 B 的对应点的坐标为 (-1,1),第 3 次变换后点 B 的对应点的坐标为 (-2,-1),…,则第 n 次变换后,当 n 为奇数时点 B 的对应点的坐标为 (1-n,-1),当 n 为偶数时点 B 的对应点的坐标为 (1-n,1),
∴ 连续经过 2024 次变换后,正方形 ABCD 的顶点 B 的对应点的坐标为 (-2023,1). 故选 B.

3 [2025 河北保定期中,中]如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,0)$,$B(0,2)$,作$\triangle BOC$(C 不与 A 重合),使$\triangle BOC与\triangle ABO$全等,则点 C 的横坐标为______,其中与$\triangle ABO成轴对称的\triangle BOC$有______个.

答案：
-1 或 1 2 【解析】如图,在 x 轴负半轴上取点 C₁,使 OC₁=OA,作 l₁⊥x 轴于点 C₁,l₂⊥x 轴于点 A,l₃⊥y 轴于点 B,分别交 l₁,l₂于点 C₂,C₃,易得△ABO≌△C₁BO≌△C₂OB≌△C₃OB. 因为 A(1,0),所以 OC₁=BC₂=BC₃=OA=1,所以 C₁(-1,0). 因为 ∠OBC₂=∠OBC₃=90°,B(0,2),所以 C₂(-1,2),C₃(1,2),所以点 C 的横坐标为 -1 或 1. 因为 C₁(-1,0)与 A(1,0)关于 y 轴对称,B(0,2),C₃(1,2)分别与 O(0,0),A(1,0)关于直线 y=1 对称,所以△C₁BO 与△ABO 关于 y 轴对称,△C₃OB 与△ABO 关于直线 y=1 对称,所以与△ABO 成轴对称的△BOC 有 2 个. 故答案为 -1 或 1,2.

4 核心素养 几何直观 [2024 北京西城区期中,难]在平面直角坐标系 xOy 中,已知点$M(a,b)$,我们将经过点$(a,0)$且垂直于 x 轴的直线记为直线$x= a$,将经过点$(0,b)$且垂直于 y 轴的直线记为直线$y= b$.
对于点 P 给出如下定义:将点 P 关于直线$x= a对称得到点P'$,再将点$P'关于直线y= b$对称得到点 Q,称点 Q 为点 P 关于 M 的“对应点”.
对于图形 G 给出如下定义:将图形 G 关于直线$x= a对称得到图形G'$,再将图形$G'关于直线y= b$对称得到图形 W,称图形 W 为图形 G 关于 M 的“对应图形”.
如图,已知$\triangle ABC的顶点坐标为A(2,0)$,$B(4,0)$,$C(3,-3)$.
(1)若点$M(1,1)$.
①由定义知,将点 A 关于直线$x= 1对称得到点(0,0)$,再将点$(0,0)关于直线y= 1对称得到点(0,2)$,则点 A 关于 M 的对应点为点$(0,2)$.那么,点$B(4,0)$关于 M 的对应点为点______,点 C 关于 M 的对应点为点______.
②已知点$P_{1}(-1,n)和点P_{2}(-1,n+1)$,若线段$P_{1}P_{2}$关于 M 的对应线段$Q_{1}Q_{2}位于\triangle ABC$的内部(不含三角形的边),求 n 的取值范围.
(2)若 y 轴上存在点 D,使得点 D 关于 M 的对应点恰好落在$\triangle ABC$的边上,直接写出 M 点横坐标 a 的取值范围.

答案：

(1)①将点 B(4,0)关于直线 x=1 对称得到点 (-2,0),再将点 (-2,0)关于直线 y=1 对称得到点 (-2,2),则点 B(4,0)关于 M 的对应点为点 (-2,2). 将点 C(3,-3)关于直线 x=1 对称得到点 (-1,-3),再将点 (-1,-3)关于直线 y=1 对称得到点 (-1,5),则点 C(3,-3)关于 M 的对应点为点 (-1,5),故答案为 (-2,2),(-1,5). ②点 P₁(-1,n)关于 M 的对应点为 Q₁(3,2-n),点 P₂(-1,n+1)关于 M 的对应点为 Q₂(3,1-n). 如图,若线段 Q₁Q₂在△ABC 内部,则只需 Q₁在 x 轴下方,Q₂在 C(3,-3)上方,
∴ {2-n＜0,1-n＞-3, 解得 2＜n＜4.
(2)1≤a≤2. 设点 D(0,d).
∵ M(a,b),
∴ 点 D 关于 M 的对应点为 D'(2a,2b-d).
∵ 点 D 关于 M 的对应点恰好落在△ABC 的边上,
∴ 2≤2a≤4,
∴ 1≤a≤2.