《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

12已知△ABC的三边长为a,b,c,化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是2b-2c.

答案： 2b-2c 【解析】
∵△ABC 的三边长分别是 a,b,c,
∴a+b＞c,b-a＜c,
∴a+b-c＞0,b-a-c＜0,
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c)=a+b-c+b-a-c=2b-2c.故答案为 2b-2c.

13如图,在△ABC中,∠B= 50°,∠C= 40°,∠BAC的平分线交BC于点D,点E是AC边上的一个动点,当△ADE是钝角三角形时,∠ADE的取值范围是0°＜∠ADE＜45°或 90°＜∠ADE≤95°.

答案： 0°＜∠ADE＜45°或 90°＜∠ADE≤95° 【解析】
∵∠B=50°,∠C=40°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠DAE=45°,
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠C=95°.当∠ADE 是钝角时,90°＜∠ADE≤95°.当∠AED 是钝角时,∠AED＞90°.
∵∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=180°-45°-∠ADE=135°-∠ADE,
∴135°-∠ADE＞90°,
∴0°＜∠ADE＜45°.综上,0°＜∠ADE＜45°或 90°＜∠ADE≤95°.

14如图,在平面直角坐标系中,点B(0,m),点C(n,m),其中m＞0,n＜0,点A是x轴负半轴上一点,点P是在直线CB与直线AO之间的一点,连接BP,OP.BN平分∠CBP,ON平分∠AOP,BN交ON于N,则∠BPO与∠BNO之间满足的数量关系为∠BNO+$\frac{1}{2}$∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO.

答案： ∠BNO+$\frac{1}{2}$∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO
①当点P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO。
∵BC//OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠NBP=$\frac{1}{2}$∠CBP，∠NOP=$\frac{1}{2}$∠AOP。
∵BC//OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠PBO+∠POB=180°，
∴∠NBP+∠NOP=$\frac{1}{2}$(180°-∠PBO-∠POB)。
在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°-∠BPO，
在△NOB中，∠BNO=180°-(∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB)=180°-[$\frac{1}{2}$(180°-∠PBO-∠POB)+∠PBO+∠POB]=90°-$\frac{1}{2}$(∠PBO+∠POB)=90°-$\frac{1}{2}$(180°-∠BPO)=$\frac{1}{2}$∠BPO，
∴∠BPO=2∠BNO。
②当点P在OB右侧时，∠BNO+$\frac{1}{2}$∠BPO=180°。
∵BC//OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°。
∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠PBN=$\frac{1}{2}$∠CBP，∠PON=$\frac{1}{2}$∠AOP，
∴∠PBN+∠PON+$\frac{1}{2}$∠BPO=180°，
∴∠PBN+∠PON=180°-$\frac{1}{2}$∠BPO。
在四边形BNOP中，∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-(180°-$\frac{1}{2}$∠BPO)-∠BPO=180°-$\frac{1}{2}$∠BPO，
∴∠BNO+$\frac{1}{2}$∠BPO=180°。
综上，∠BPO与∠BNO之间的数量关系为∠BNO+$\frac{1}{2}$∠BPO=180°或∠BPO=2∠BNO。

15[2025吉林长春期末]图(1)、图(2)、图(3)均是4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求以AB为边画△ABC.
要求:
(1)在图(1)中画一个直角三角形,在图(2)中画一个锐角三角形,在图(3)中画一个钝角三角形.
(2)点C在格点上.

答案：

(1)若DE//AC,求∠ADE的度数.
35°
(2)当∠BED的度数是 90°或55°时,△BDE是直角三角形.

答案： 【解】
(1)
∵DE//AC,
∴∠BED=∠BAC.
∵∠BAC=∠ADC,
∴∠BED=∠ADC.
∵∠BED=∠EAD+∠ADE,∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADE=∠B=35°.
(2)当∠BED 的度数是 90°时,△BDE 是直角三角形.当∠BDE=90°,则∠BED=90°-35°=55°时,△BDE 是直角三角形.综上,当∠BED 的度数是 90°或 55°时,△BDE 是直角三角形.故答案为 90°或 55°.

17[2024河北邯郸期末]在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是线段AC上的动点(不与点D重合),过点E作EF//BC交射线BD于点F,∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G.
(1)如图,点E在线段AD上运动时,
①若∠ABC= 40°,∠C= 60°,则∠A的度数是80°,∠EFB的度数是20°.
②猜想∠BGE与∠A之间的数量关系,并说明理由.
∠BGE=90°-$\frac{1}{2}$∠A
理由：
∵∠BGE是△EGF的外角，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG
∵EF//BC，
∴∠C=∠DEF，∠EFG=∠CBD
∵∠ABC+∠C=180°-∠A，
∴∠ABC+∠DEF=180°-∠A
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FEG=$\frac{1}{2}$∠DEF
∴∠CBD+∠FEG=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠DEF)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A
∵∠EFG=∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BGE=90°-$\frac{1}{2}$∠A
(2)若点E在线段DC上运动时,请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系.
∠BGE=$\frac{1}{2}$∠A

答案：
(1)①80°，20°
②∠BGE=90°- $\frac{1}{2}$∠A
理由：
∵∠BGE是△EGF的外角，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG
∵EF//BC，
∴∠C=∠DEF，∠EFG=∠CBD
∵∠ABC+∠C=180°-∠A，
∴∠ABC+∠DEF=180°-∠A
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠CBD= $\frac{1}{2}$∠ABC，∠FEG= $\frac{1}{2}$∠DEF
∴∠CBD+∠FEG= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠DEF)= $\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°- $\frac{1}{2}$∠A
∵∠EFG=∠CBD，
∴∠EFG+∠FEG=90°- $\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BGE=90°- $\frac{1}{2}$∠A
(2)∠BGE= $\frac{1}{2}$∠A