《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1 [2024山东菏泽调研,较难]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,当点P到达点A时,两点同时停止移动.已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图(1),当点P为AB的中点时,试说明:$PD= QD$.
(2)如图(2),过点P作直线BC的垂线,垂足为E,点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

答案：

(1)过P点作PF//AC交BC于F,如图
(1).因为点P和点Q同时出发，且速度相同,所以BP=CQ.因为PF//AQ,所以∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,所以∠B=∠PFB,所以BP=PF,所以PF=CQ.因为∠PDF=∠QDC,∠DPF=∠DQC,PF=CQ,所以△PFD≌△QCD,所以PD=QD.
　
(2)存在,ED的长度保持不变.理由如下:过点P作PF//AQ交BC于点F,如图
(2).同
(1)可证PB=PF.
因为PE⊥BF,所以BE=EF;
同
(1)可证△PFD≌△QCD,所以FD=DC,所以ED=EF+FD=BE+DC=$\frac{1}{2}$BC,
所以ED的长度为定值，即ED的长度保持不变.

2 [中]如图,点D是$\triangle ABC$的三个内角的平分线AD,BD,CD的交点,且$AB+BD= AC$.求证:$\angle ABC= 2\angle ACB$.

答案：
如图,在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,则
　　　　　　　　　　　　　
AC=AB+CE=AE+CE=AB+BD,
∴CE=BD.
∵AD,BD,CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB,
∴∠DAB=∠DAE,∠ABC=2∠ABD,∠ACB=2∠ACD.又
∵AD=AD,
∴△ABD≌△AED,
∴BD=DE,∠ABD=∠AED,
∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠ABD=∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD=∠ACB,
∴∠ABC=2∠ACB.

3 [2025河南郑州质检,中]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 3\angle C$,AD平分$\angle BAC$,$BE\perp AD$于E,求证:$BE= \frac{1}{2}(AC-AB)$.(提示:延长BE交AC于点F).

答案：
如图,延长BE交AC于点F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
　　　　　　
在△ABE和△AFE中,{∠AEB=∠AEF,AE=AE,∠BAE=∠FAE},
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=EF.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C,
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF,
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC - AF=AC - AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC - AB).