《2025年初中必刷题八年级数学上册人教版》

1[2025福建福州校级期中]有两个角互余的三角形是(B)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形

答案： B 【解析】有两个角互余的三角形是直角三角形.故选 B.

2[2025天津宁河区质检]图中以AB为边的三角形的个数是(B)
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： B 【解析】题图中以 AB 为边的三角形有△ABD,△ABE,△ABC,共 3 个.故选 B.

3[2025黑龙江哈尔滨期中]如图,AD,CE是△ABC的高,AB= 5,BC= 4,AD= 3,则CE= (C)

A.$\frac{20}{3}$
B.10
C.$\frac{12}{5}$
D.6

答案： 1. 首先根据三角形面积公式：
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
对于$\triangle ABC$，以$BC$为底，$AD$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$；以$AB$为底，$CE$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
2. 然后根据面积相等列等式：
因为$S_{\triangle ABC}$是固定的，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
已知$AB = 5$，$BC = 4$，$AD = 3$，将其代入$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AB\cdot CE$中，由于等式两边$\frac{1}{2}$可约去，得到$BC\cdot AD=AB\cdot CE$。
即$4×3 = 5× CE$。
3. 最后求解$CE$：
由$4×3 = 5× CE$，根据等式的性质，$CE=\frac{4×3}{5}$。
计算可得$CE=\frac{12}{5}$。
所以答案是C。

4[2025山东临沂质检]如图,已知数轴上点A,B,C,D对应的数字分别为-1,1,x,7,点C在线段BD上且不与端点重合,若线段AB,BC,CD能围成三角形,则x可能是(C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 1. 首先，根据数轴上两点间距离公式$\vert a - b\vert$：
已知$A=-1$，$B = 1$，$C=x$，$D = 7$，则$AB=\vert1-(-1)\vert=\vert1 + 1\vert=2$，$BC=\vert x - 1\vert$，$CD=\vert7 - x\vert$。
因为点$C$在线段$BD$上且不与端点重合，所以$1\lt x\lt7$，此时$BC=x - 1$，$CD=7 - x$。
2. 然后，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”：
对于$AB$，$BC$，$CD$，有$\left\{\begin{array}{l}AB+BC\gt CD\\AB + CD\gt BC\\BC+CD\gt AB\end{array}\right.$。
把$AB = 2$，$BC=x - 1$，$CD=7 - x$代入：
代入$AB+BC\gt CD$得：$2+(x - 1)\gt7 - x$。
解不等式$2+(x - 1)\gt7 - x$：
去括号得$2+x - 1\gt7 - x$，即$x + 1\gt7 - x$。
移项得$x+x\gt7 - 1$，即$2x\gt6$，解得$x\gt3$。
代入$AB + CD\gt BC$得：$2+(7 - x)\gt x - 1$。
解不等式$2+(7 - x)\gt x - 1$：
去括号得$2 + 7-x\gt x - 1$，即$9 - x\gt x - 1$。
移项得$-x - x\gt-1 - 9$，即$-2x\gt-10$，解得$x\lt5$。
代入$BC+CD\gt AB$得：$(x - 1)+(7 - x)\gt2$，化简得$6\gt2$（恒成立）。
3. 最后，综合$1\lt x\lt7$，$x\gt3$，$x\lt5$：
可得$3\lt x\lt5$。
所以$x$可能是$4$，答案是C。

如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AC,BD,CE的中点,且阴影部分的面积为7,则△ABC的面积为(C)
A.14
B.21
C.28
D.32

答案： 1. 首先，根据三角形中线的性质：
因为$F$是$CE$的中点，所以$S_{\triangle CDE}=2S_{\triangle DEF}$（等底等高的三角形面积相等，$\triangle DEF$和$\triangle DCF$等底$EF = CF$，等高，所以$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DCF}$）。已知$S_{\triangle DEF}=7$，则$S_{\triangle CDE}=2×7 = 14$。
2. 然后，因为$E$是$BD$的中点：
所以$S_{\triangle BCD}=2S_{\triangle CDE}$（等底等高的三角形面积相等，$\triangle BCD$中，$E$是$BD$中点，$\triangle BEC$和$\triangle DEC$等底$BE = DE$，等高）。
由$S_{\triangle CDE}=14$，可得$S_{\triangle BCD}=2×14 = 28$。
3. 最后，因为$D$是$AC$的中点：
所以$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle BCD}$（等底等高的三角形面积相等，$\triangle ABC$中，$D$是$AC$中点，$\triangle ABD$和$\triangle BCD$等底$AD = CD$，等高）。
由$S_{\triangle BCD}=28$，可得$S_{\triangle ABC}=2×28=56$（这里发现错误，重新分析）。
重新分析：
因为$F$是$CE$的中点，所以$S_{\triangle CDE}=2S_{\triangle DEF}$（$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle DCF}$，等底$EF = CF$，同高），已知$S_{\triangle DEF}=7$，则$S_{\triangle CDE}=2×7 = 14$。
因为$E$是$BD$的中点，所以$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}=14$（$\triangle BDE$和$\triangle CDE$等底$BE = DE$，同高），那么$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDE}=28$。
因为$D$是$AC$的中点，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}$（$\triangle ABD$和$\triangle BCD$等底$AD = CD$，同高）。
所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=28$。
答案是C。

6[2024江苏苏州期中]如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,这种数量关系为(B)
A.∠A= ∠1+∠2
B.2∠A= ∠1+∠2
C.3∠A= 2∠1+∠2
D.3∠A= 2(∠1+∠2)

答案： B 【解析】
∵∠1=180°-∠AEA',∠2=180°-∠ADA',
∴∠1+∠2=180°-∠AEA'+180°-∠ADA'=360°-(∠AEA'+∠ADA').
∵∠A+∠A'=360°-(∠AEA'+∠ADA'),
∴∠A+∠A'=∠1+∠2.
∵∠A=∠A',
∴2∠A=∠1+∠2,故选 B.

7如图,在△ABC中,O是三个内角的平分线的交点,过点O作∠ODC= ∠AOC,交边BC于点D.若∠ABC= n°,则∠BOD的度数为(D)
A.$90^{\circ}+\frac{1}{2}n^{\circ}$
B.$45^{\circ}+\frac{1}{2}n^{\circ}$
C.$90^{\circ}-\frac{1}{2}n^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 1. 首先，根据角平分线的性质：
因为$O$是$\triangle ABC$三个内角平分线的交点，所以$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$，$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。
根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA = 180^{\circ}$，则$\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ}-\angle ABC$。
再根据三角形内角和定理求$\angle AOC$：
在$\triangle AOC$中，$\angle AOC = 180^{\circ}-(\angle OAC+\angle OCA)$。
把$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle OCA=\frac{1}{2}\angle BCA$代入上式得$\angle AOC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)$。
又因为$\angle BAC+\angle BCA = 180^{\circ}-\angle ABC$，所以$\angle AOC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC$。
2. 然后，已知$\angle ODC=\angle AOC$：
所以$\angle ODC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC$。
根据三角形外角性质$\angle ODC=\angle BOD+\angle OBD$（$\angle OBD=\frac{1}{2}\angle ABC$）。
设$\angle ABC = n^{\circ}$，则$\angle OBD=\frac{1}{2}n^{\circ}$，$\angle ODC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}n^{\circ}$。
由$\angle ODC=\angle BOD+\angle OBD$可得$\angle BOD=\angle ODC - \angle OBD$。
把$\angle ODC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}n^{\circ}$，$\angle OBD=\frac{1}{2}n^{\circ}$代入得$\angle BOD=(90^{\circ}+\frac{1}{2}n^{\circ})-\frac{1}{2}n^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$\angle BOD$的度数为$90^{\circ}$，答案是D。

8[2025江西赣州期中]平面内A,B,C,D,E,F六点构成如图所示的图形,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于( )


A.$180^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$540^{\circ}$
D.$720^{\circ}$

答案：
B 【解析】如图所示,连接 AH,设 AC 与 BE 交于点 G.由三角形外角性质可知∠AGH=∠C+∠E,∠FHG=∠B+∠D.
∵∠FAG=∠FAH+∠GAH,∠FHG=∠FHA+∠GHA.在△AGH 中,∠AGH+∠GHA+∠HAG=180°;在△AFH 中,∠F+∠FHA+∠HAF=180°,
∴∠F+∠FAG+∠AGH+∠FHG=360°,
∴∠FAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°,故选 B.

9[2025安徽滁州期中]在下列条件中:①∠A+∠B= ∠C;②∠A:∠B:∠C= 1:2:3;③∠A= $90^{\circ}-\angle B$;④∠A= ∠B= 2∠C;⑤∠A= 2∠B= 3∠C,能确定△ABC是直角三角形的条件有(B)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： 1. 首先看条件①：
已知$\angle A+\angle B = \angle C$，又因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$（三角形内角和定理：$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$）。
把$\angle A+\angle B = \angle C$代入$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，得到$2\angle C = 180^{\circ}$，则$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
2. 接着看条件②：
已知$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$，设$\angle A=x$，$\angle B = 2x$，$\angle C = 3x$。
根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，即$x + 2x+3x=180^{\circ}$。
合并同类项得$6x = 180^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
所以$\angle C=3x = 90^{\circ}$，则$\triangle ABC$是直角三角形。
3. 再看条件③：
已知$\angle A=90^{\circ}-\angle B$，移项可得$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$。
因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle C=180^{\circ}-(\angle A + \angle B)=90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
4. 然后看条件④：
已知$\angle A=\angle B = 2\angle C$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
把$\angle A=\angle B = 2\angle C$代入得$2\angle C+2\angle C+\angle C = 180^{\circ}$。
合并同类项得$5\angle C = 180^{\circ}$，解得$\angle C = 36^{\circ}$，$\angle A=\angle B = 72^{\circ}$，所以$\triangle ABC$不是直角三角形。
5. 最后看条件⑤：
已知$\angle A = 2\angle B=3\angle C$，设$\angle A = 6x$，则$\angle B = 3x$，$\angle C = 2x$。
根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，即$6x + 3x+2x=180^{\circ}$。
合并同类项得$11x = 180^{\circ}$，解得$x=\frac{180^{\circ}}{11}$。
$\angle A=\frac{1080^{\circ}}{11}$，$\angle B=\frac{540^{\circ}}{11}$，$\angle C=\frac{360^{\circ}}{11}$，所以$\triangle ABC$不是直角三角形。
综上，能确定$\triangle ABC$是直角三角形的条件有①②③，共$3$个，答案是B。

已知点O为△ABC内任意一点,设OA+OB+OC= $S_{1}$,AB+BC+AC= $S_{2}$,则下列关系正确的是(D)
A.$S_{2}\geqslant 2S_{1}$
B.$S_{2}＞2S_{1}$
C.$S_{2}＜2S_{1}\leqslant 2S_{2}$
D.$S_{2}＜2S_{1}＜2S_{2}$

答案： D 【解析】如图,
∵OA+OB＞AB,OB+OC＞BC,OC+OA＞AC,
∴2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC,
∴2S₁＞S₂.延长 BO 交 AC 于点 G.
∵AB+AG＞BO+OG,OG+GC＞OC,
∴AB+AC＞OB+OC,同理可得,AB+BC＞OA+OC,AC+BC＞OA+OB,
∴2(AB+BC+AC)＞2(OA+OB+OC),
∴S₂＞S₁,
∴S₂＜2S₁＜2S₂.故选 D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11[2025浙江杭州期中]王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图所示,要使这个木架不变形,他至少要再钉上木条的根数为1.

答案： 1 【解析】根据三角形具有稳定性可知,要使这个木架不变形,他至少要再钉上 1 根木条,故答案为 1.