《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

阅读下面材料：
在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律. 如图，这是某月的月历，我们任意选择两组数（阴影部分），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的结果都是 48. 例如：$8×10 - 2×16 = 48$，$19×21 - 13×27 = 48$.

（1）再选择类似的两组数试一试，看看是否符合这个规律.
（2）请利用整式的运算对这个规律加以证明.

答案：
(1)$10 × 12 - 4 × 18 = 48$，符合这个规律.(答案不唯一)
(2)设这四个数中最小的数为$n$，则其他三个数分别为$n+6,n+8,n+14.\therefore$以上规律可表示为$(n+6)(n+8)-n(n+14)=48$.证明：$(n+6)(n+8)-n(n+14)=n^2 +14n+48-n^2 -14n=48$.

观察下列各式：
①$60×60=60^{2}-0^{2}=3 600$；
②$59×61=(60-1)×(60+1)=60^{2}-1^{2}=3 599$；
③$58×62=(60-2)×(60+2)=60^{2}-2^{2}=3 596$；
④$57×63=(60-3)×(60+3)=60^{2}-3^{2}=3 591$；
……
【探究】(1)上面的式子表示的规律是$(60+m)(60-m)=$$60^{2}-m^{2}$；观察各等式的左边发现两个因数之和都是 120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数相等时，乘积最大.
【应用】(2)根据上面的规律思考，若$a+b=400$，则$ab$的最大值是40000.
【拓展】(3)将一根长 40 cm 的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为$x$ cm，面积为$S$，写出$S$与$x$之间的等量关系，当$x$为何值时，$S$取得最大值？

答案：
(1)$60^{2}-m^{2}$相等
(2)40000
(3)
∵长方形的周长为40cm，一条边的长为$x$cm，则另一条边的长为$(20 - x)$cm，由长方形的面积公式，得$S = x(20 - x)$.
∵长方形的长与宽的和为定值$x + (20 - x)=20$，
∴当$x = 20 - x$，即$x = 10$时，$x(20 - x)$最大，即面积S最大.答：S与$x$之间的等量关系为$S = x(20 - x)$，当$x = 10$时，S取得最大值.