《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

1. 下列式子为完全平方式的是(D)

A.$a^{2}+ab + b^{2}$
B.$a^{2}+2a + 2$
C.$a^{2}-2b + b^{2}$
D.$a^{2}+2a + 1$

答案： D

2. (1)若$x^{2}-6x + k$是完全平方式，则$k =$9.
(2)若$x^{2}-ax + 16$是完全平方式，则$a =$±8.

答案：
(1)9
(2)±8

3. 下列多项式能直接用完全平方公式分解因式的是(B)

A.$9x^{2}-16y^{2}$
B.$4x^{2}-4x + 1$
C.$x^{2}+xy + y^{2}$
D.$9-3x + x^{2}$

答案： B

4. 分解因式：
(1)(2024·兰州)$a^{2}-2a + 1=$(a-1)^2.
(2)(2024·常州)$x^{2}-4xy + 4y^{2}=$(x-2y)^2.
(3)$(p + q)^{2}+10(p + q)+25=$(p+q+5)^2.

答案： $(1)(a-1)^2 (2)(x-2y)^2 (3)(p+q+5)^2$

5. 新考向 开放性问题 在多项式$x^{2}+\frac{1}{4}$中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是x(答案不唯一).(写一个即可)

答案： x(答案不唯一)

6. 分解因式：
(1)$1-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}x^{2}$.
(2)$-4x^{2}-y^{2}-4xy$.

答案： 解：
(1)原式$=(1-\frac{1}{3}x)^2.(2)$原式$=-(4x^2+y^2+4xy)=-(2x+y)^2.$

7. 湖南师大附中校本经典题 已知$9x^{2}+mxy + 16y^{2}$能运用完全平方公式分解因式，则$m$的值为(D)

A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$

答案： D

8. 已知$a\neq c$，若$M = a^{2}-ac$，$N = ac - c^{2}$，则$M$与$N$的大小关系是(A)

A.$M＞N$
B.$M = N$
C.$M＜N$
D.不能确定

答案： A

9. 已知$m - n=\sqrt{7}$，则代数式$m^{2}+n^{2}+1-2mn$的值是(A)

A.8
B.7
C.6
D.5

答案： A

10. 分解因式：
(1)$25(x - y)^{2}-30(x - y)+9$.
(2)$-4m^{2}+4m(p + q)-(p + q)^{2}$.

答案： 解：
(1)原式$=[5(x-y)]^2-2×5×3(x-y)+3^2=(5x-5y-3)^2.(2)$原式$=-[4m^4-4m(q+p)+(p+q)^2]=-(2m-p-q)^2.$

11. 利用因式分解计算：
$50×9.5^{2}-100×9.5×7.5+50×7.5^{2}$.

答案： 解：原式$=50×(9.5^2-2×9.5×7.5+7.5^2)=50×(9.5-7.5)^2=50×2^2=200.$

12. 新考向 阅读理解 先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如$x^{2}+2xa + a^{2}$这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成$(x + a)^{2}$的形式.但对于二次三项式$x^{2}+2xa-3a^{2}$，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式$x^{2}+2xa-3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$，使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式，再减去$a^{2}$，于是有：
$\begin{aligned}x^{2}+2xa-3a^{2}&=(x^{2}+2xa + a^{2})-a^{2}-3a^{2}\\&=(x + a)^{2}-4a^{2}\\&=(x + a)^{2}-(2a)^{2}\\&=(x + 3a)(x - a).\end{aligned}$
像这样，先添一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：$a^{2}-6a + 8$.
(2)已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$都是正整数，且满足$a^{2}+b^{2}-2a-4b + 5 = 0$，求$\triangle ABC$的周长，并判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 解：
(1)原式$=(a^2-6a+9)-9+8=(a-3)^2-1=(a-3+1)(a-3-1)=(a-2)(a-4).(2)$
∵$a^2+b^2-2a-4b+5=0,$
∴$(a^2-2a+1)+(b^2-4b+4)=0.$
∴$(a-1)^2+(b-2)^2=0.$
∴a-1=0,b-2=0.
∴a=1,b=2.
∵2-1＜c＜2+1,即1＜c＜3.
∴c是正整数,
∴c=2.
∴a+b+c=5.
∴△ABC的周长为5.
∵b=c=2,
∴△ABC是等腰三角形.