《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

11. （1）若等腰三角形的一个内角为 $50^{\circ}$，则这个等腰三角形底角的度数为____________.
（2）若等腰三角形有一个内角为 $110^{\circ}$，则这个等腰三角形底角的度数是______.

答案：
(1)50°或65°
(2)35°

12. 新考向 真实情境 某平板电脑支架的示意图如图所示，其中 $AB = CD$，$EA = ED$，为了使用的舒适性，可调整 $\angle AEC$ 的大小.若 $\angle AEC$ 增大 $16^{\circ}$，则 $\angle BDE$ 的变化情况是(D)


A.增大 $16^{\circ}$
B.减小 $16^{\circ}$
C.增大 $8^{\circ}$
D.减小 $8^{\circ}$

答案： D

13. (2024·福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图所示.其中 $\triangle OAB$ 与 $\triangle ODC$ 都是等腰三角形，且它们关于直线 $l$ 对称，点 $E$，$F$ 分别是底边 $AB$，$CD$ 的中点，$OE \perp OF$，则下列推断错误的是(B)


A.$OB \perp OD$
B.$\angle BOC = \angle AOB$
C.$OE = OF$
D.$\angle BOC + \angle AOD = 180^{\circ}$

答案： B

14. 有一个问题：如图 1，已知 $\angle AOB$，只用无刻度的直尺和圆规判断 $\angle AOB$ 是否为直角.小意同学的方法如下：如图 2，在 $OA$，$OB$ 上分别取点 $C$，$D$，以点 $C$ 为圆心，$CD$ 的长为半径画弧，交 $OB$ 的反向延长线于点 $E$，若测量得 $OE = OD$，则 $\angle AOB = 90^{\circ}$.小意同学判断的依据是_______.

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答案： 等腰三角形“三线合一”

15. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle B = 70^{\circ}$，以点 $C$ 为圆心，$CA$ 的长为半径作弧，交直线 $BC$ 于点 $P$，连接 $AP$，则 $\angle BAP$ 的度数是15°或75°.
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答案： 15°或75°

16. 【方程思想】如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$，$E$ 分别在 $AC$，$AB$ 上，且 $BD = BC$，$BE = DE = AD$，求 $\angle C$ 的度数.
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答案： 解：设∠EBD = α°.
∵EB = ED,
∴∠EDB = ∠EBD = α°.
∵AD = ED,
∴∠A = ∠AED = ∠EDB + ∠EBD = 2α°.
∴∠EDC = ∠A + ∠AED =4α°.又
∵∠EDB = α°,
∴∠BDC = 3α°.
∵BD = BC,
∴∠C = ∠BDC =3α°.
∵AB = AC,
∴∠ABC = ∠C = 3α°.在△ABC中,∠A + ∠ABC +∠C = 180°,
∴2α + 3α + 3α = 180,解得α = 22.5.
∴∠C = 3α° = 67.5°.

17. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $N$，交 $BC$ 的延长线于点 $M$.
(1)若 $\angle A = 30^{\circ}$，求 $\angle NMB$ 的度数.
(2)如果将(1)中 $\angle A$ 的度数改为 $80^{\circ}$，其余条件不变，则 $\angle NMB$ 的度数为40°.
(3)你发现 $\angle A$ 与 $\angle NMB$ 有什么数量关系，直接写出你的结论.
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答案： 解：
(1)
∵AB = AC,∠B = ∠ACB.
∴$∠B = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = \frac{1}{2} ×(180° - 30°) = 75°.$
∵MN⊥AB,
∴$∠NMB = 90° - ∠B = 90° - 75° =15°.(2)40° (3)∠NMB = \frac{1}{2}∠A.$理由如下：
∵AB = AC,
∴∠B =∠ACB.
∴$∠B = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° - \frac{1}{2}∠A.$
∵MN⊥AB,
∴$∠NMB = 90° - ∠B = 90° - (90° - \frac{1}{2}∠A) = \frac{1}{2}∠A.$