《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

3. 如图,已知C为射线AD上一点,∠A=∠B,PA=PB,AP与BC相交于点M.若∠APB=2∠CPA,求证:BM=AC+CM.

答案： 3.证明：在BC上截取BG=AC，连接PG.在△ACP和△BGP中，$\begin{cases} AP = BP, \\ \angle A = \angle B, \\ AC = BG. \end{cases}$
∴△ACP≌△BGP(SAS).
∴∠CPA=∠GPB，PC=PG.
∵∠APB=2∠CPA，
∴∠APB=2∠GPB.又
∵∠APB=∠GPB+∠GPA，
∴∠GPA=∠GPB=∠CPA.在△CPM和△GPM中，$\begin{cases} PC = PG, \\ \angle CPM = \angle GPM, \\ PM = PM. \end{cases}$
∴△CPM≌△GPM(SAS).
∴CM=GM.
∴BM=BG+GM=AC+CM.

4. 【问题背景】
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是EF=BE+FD.


【探索延伸】
如图2,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.

答案： 4.解：【初步探索】EF=BE+FD【探索延伸】结论仍然成立.理由：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG.在△ABE和△ADG中，$\begin{cases} BE = DG, \\ \angle ABE = \angle ADG, \\ AB = AD. \end{cases}$
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.在△EAF和△GAF中，$\begin{cases} AE = AG, \\ \angle EAF = \angle GAF, \\ AF = AF. \end{cases}$
∴△EAF≌△GAF(SAS).
∴EF=FG=DG+FD=BE+FD.

5. 如图,已知CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线.求证:AC=2AE.

答案： 5.证明：延长AE至点F，使AE=EF，连接BF.
∵AE是△ABD的中线，$\begin{cases} AE = FE, \\ \angle AED = \angle FEB, \\ \end{cases}$
∴BE=DE.在△ADE和△FBE中，
∴△ADE≌△FBE(SAS).
∴BF=DA，∠FBE=∠ADE.
∵∠BAD=∠BDA，
∴∠ABF=∠ABD+∠FBE=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC.在△ABF和△CDA中，$\begin{cases} \angle ABF = \angle CDA, \\ AB = CD, \\ \angle BAF = \angle CDA. \end{cases}$
∴△ABF≌△CDA(SAS).
∴AC=AF.
∵AF=2AE，
∴AC=2AE.