《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

1. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C)

A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a - b^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$

答案： C

2. 分解因式：
(1) (2024·海南)$x^{2}-4=$(x+2)(x-2).
(2) $a^{2}-9b^{2}=$(a+3b)(a-3b).
(3) $0.25x^{2}-16y^{2}=$(0.5x+4y)(0.5x-4y).
(4) $m^{4}-n^{2}=$(m²+n)(m²-n).

答案： 2.
(1)(x+2)(x-2)
(2)(a+3b)(a-3b)
(3)(0.5x+4y)(0.5x-4y)
(4)(m²+n)(m²-n)

3. 新考向 开放性问题 请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是$49a^{2}$。符合要求的多项式可以是49a²-1.

答案： 3.49a²-1(答案不唯一)

4. 利用因式分解计算：$201^{2}-199^{2}=$800.

答案： 4.800

5. 分解因式：
(1) $\frac{1}{16}-9a^{2}$.
(2) $a^{2}b^{2}-16$.
(3) $36x^{2}-(x + y)^{2}$.

答案： 5.解：
(1)原式$=(-\frac{1}{4}-3a)(-\frac{1}{4}+3a).(2)$原式=(ab+4)(ab-4).
(3)原式=(6x)²-(x+y)²=(6x+x+y)(6x-x-y)=(7x+y)(5x-y).

6. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式$x^{2}-□ y^{2}$(“$□$”表示漏抄的部分)中$y^{2}$前的数。若该二项式能分解因式，则“$□$”不可能是(C)

A.4
B.9
C.-4
D.25

答案： 6.C

7. 已知$a$，$b$，$c$是三角形的三边长，那么代数式$(a - b)^{2}-c^{2}$的值(B)

A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定

答案： 7.B

8. 已知$x - y = 6$，则$x^{2}-y^{2}-12y=$36.

答案： 8.36

9. 分解因式：
(1) $-49x^{4}+\frac{1}{25}y^{2}$.
(2) $(a + 3b)^{2}-(a - 3b)^{2}$.
(3) $(x + y)^{2}-4(x - y)^{2}$.

答案： 9.解：
(1)原式$=(-\frac{1}{5}y+7x²)(-\frac{1}{5}y-7x²).(2)$原式=(a+3b+a-3b)(a+3b-a+3b)=2a·6b=12ab.
(3)原式=[(x+y)+2(x-y)][(x+y)-2(x-y)]=(3x-y)(3y-x).

10. 北京四中校本经典题 观察下列等式，并解答问题。
$1 = 1^{2}-0^{2}$；
$3 = 2^{2}-1^{2}$；
$5 = 3^{2}-2^{2}$；
$7 = 4^{2}-3^{2}$；
……
(1) 将2025写成相邻两数的平方差的形式：2025=1013²-1012².
(2) 用含字母$m$($m$为不小于0的整数)的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律。
(3) 相邻两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由。

答案： 10.解：
(1)2025=1013²-1012²
(2)2m+1=(m+1)²-m².证明：
∵(m+1)²-m²=(m+1+m)(m+1-m)=2m+1,
∴2m+1=(m+1)²-m².
(3)相邻两个奇数的平方差一定是8的倍数.理由如下：设这两个相邻奇数分别为2n+1,2n-1(n为整数).
∵(2n+1)²-(2n-1)²=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,
∴相邻两个奇数的平方差一定是8的倍数.