《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

变式角度3 三等分线
【变式3】如图，已知 $ \angle PBC = \dfrac{1}{3}\angle DBC $，$ \angle PCB = \dfrac{1}{3}\angle ECB $，试探究 $ \angle BPC $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系。

答案： 【变式3】解：$\because\angle DBC=\angle ACB+\angle A$，$\therefore\angle DBC+\angle ECB=\angle ACB+\angle A+\angle ECB = 180^{\circ}+\angle A$。$\because\angle PBC=\frac{1}{3}\angle DBC,\angle PCB=\frac{1}{3}\angle ECB$，$\therefore\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{3}(\angle DBC+\angle ECB)=\frac{1}{3}(180^{\circ}+\angle A)$。$\therefore\angle BPC=180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=180^{\circ}-\frac{1}{3}(180^{\circ}+\angle A)=120^{\circ}-\frac{1}{3}\angle A$。

1. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ BO $，$ CO $ 分别平分 $ \angle ABC $，$ \angle ACB $，$ CE $ 为外角 $ \angle ACD $ 的平分线，交 $ BO $ 的延长线于点 $ E $，记 $ \angle BAC = \angle 1 $，$ \angle BEC = \angle 2 $，则下列结论中错误的是 (B)

A.$ \angle 1 = 2\angle 2 $
B.$ \angle BOC = 3\angle 2 $
C.$ \angle BOC = 90° + \dfrac{1}{2}\angle 1 $
D.$ \angle BOC = 90° + \angle 2 $

答案： 1.B

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC $，$ \angle ACB $ 的三等分线分别对应交于点 $ E $，$ D $。若 $ \angle E = 90° $，则 $ \angle BDC $ 的度数为 ，$ \angle135°A $ 的度数为 。45°

答案： 2.135°45°

3. 如图，$ \triangle ABC $ 的两条内角平分线 $ BO $，$ CO $ 相交于点 $ O $，两条外角平分线 $ BP $，$ CP $ 相交于点 $ P $。已知 $ \angle BOC = 120° $，则 $ \angle P = $。60°

答案： 3.60°

4. 【问题背景】
已知 $ \angle MON = 90° $，点 $ A $，$ B $ 分别在 $ OM $，$ ON $ 上运动（不与点 $ O $ 重合）。
【问题思考】
（1）如图 1 所示，$ AE $，$ BE $ 分别是 $ \angle BAO $，$ \angle ABO $ 的平分线，随着点 $ A $，$ B $ 的运动，求 $ \angle AEB $ 的度数。
（2）如图 2 所示，$ BC $ 是 $ \angle ABN $ 的平分线，$ BC $ 的反向延长线与 $ \angle BAO $ 的平分线交于点 $ D $。如果 $ \angle MON = \alpha $，其余条件不变，随着点 $ A $，$ B $ 的运动，求 $ \angle D $ 的度数。（用含 $ \alpha $ 的式子表示）

答案： 4.解：
(1)$\because\angle MON = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BAO+\angle ABO = 90^{\circ}$。$\because AE,BE$分别是$\angle BAO,\angle ABO$的平分线，$\therefore\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAO,\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABO$。$\therefore\angle BAE+\angle ABE=\frac{1}{2}(\angle BAO+\angle ABO)=45^{\circ}$。$\therefore\angle AEB = 180^{\circ}-(\angle BAE+\angle ABE)=135^{\circ}$。
(2)设$\angle BAD = x$，$\because AD$平分$\angle BAO$，$\therefore\angle BAO = 2x$。$\because\angle AOB=\alpha$，$\therefore\angle ABN=\angle AOB+\angle BAO=\alpha + 2x$。$\because BC$平分$\angle ABN$，$\therefore\angle ABC=\frac{1}{2}\angle ABN=\frac{1}{2}\alpha+x$。$\because\angle ABC=\angle D+\angle BAD$，$\therefore\angle D=\angle ABC-\angle BAD=\frac{1}{2}\alpha+x - x=\frac{1}{2}\alpha$。