《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

【例】(教材 P118 习题 T7 变式)已知 $a + b = 6$，$ab = 2$，求下列各式的值.
(1)$a^{2}+b^{2}$.
(2)$(a - b)^{2}$.
(3)$a^{2}-ab + b^{2}$.
(4)$a^{2}+ab + b^{2}$.

答案： 解：
(1)$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 6^{2}-2×2 = 32$。
(2)$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab = 6^{2}-4×2 = 28$。
(3)$a^{2}-ab + b^{2}=(a^{2}+b^{2})-ab = 32 - 2 = 30$。
(4)$a^{2}+ab + b^{2}=(a + b)^{2}-ab = 6^{2}-2 = 34$。

【变式】已知 $x + y = 6$，$xy = 3$，求下列各式的值.
(1)$x^{2}+4xy + y^{2}$.
(2)$x^{4}+y^{4}$.

答案： 解：
(1)$\because x + y = 6$，$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=36$。$\because xy = 3$，$\therefore x^{2}+y^{2}=30$。$x^{2}+4xy + y^{2}=42$。
(2)由
(1)知，$x^{2}+y^{2}=30$，$\therefore x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=30^{2}-2×3^{2}=882$。

1. 已知 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^{2}+b^{2}$ 的值为(C)

A.25
B.20
C.13
D.17

答案： C

2. 已知 $(x + y)^{2}=1$，$(x - y)^{2}=49$，则 $xy=$-12.

答案： -12

3. 若 $4a^{2}+b^{2}=57$，$ab = 6$，则 $2a + b$ 的值为±9.

答案： ±9

4. 若 $m - n = 4$，$mn = - 3$，则 $(m^{2}-4)(n^{2}-4)$ 的值为-15.

答案： -15

5. 已知 $a + b = 8$，$a^{2}b^{2}=4$，则 $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab=$28或36.

答案： 28或36

6. (2024·泸州期末)用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式. 数学活动课上，老师展示了如图 1 所示的长方形纸片，它的长为 $2a$，宽为 $2b$，用剪刀沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按图 2 的方式拼成一个正方形. 请解答下列问题：
(1)请用两种不同的方法表示图 2 中阴影部分的面积：
方法 1：(a - b)^{2}.
方法 2：(a + b)^{2}-4ab.
(2)观察图 2，请写出 $(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$ 之间的等量关系：(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab.
(3)结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知 $a + b = 5$，$ab = 5$，求 $(a - b)^{2}+(a + 2)(b + 2)$ 的值.
②已知 $(2024 - a)^{2}+(a - 2023)^{2}=7$，求 $(2024 - a)(a - 2023)$ 的值.

答案： 解：
(1)$(a - b)^{2}$ $(a + b)^{2}-4ab$
(2)$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$
(3)①$\because a + b = 5$，$ab = 5$，$\therefore(a - b)^{2}+(a + 2)(b + 2)=(a + b)^{2}-4ab + ab + 2(a + b)+4=(a + b)^{2}-3ab + 2(a + b)+4 = 5^{2}-3×5 + 2×5 + 4 = 2024 - a$，$a - 2023 = y$。$\therefore x + y = 2024 - a + a - 2023 = 1$。$\because(2024 - a)^{2}+(a - 2023)^{2}=7$，$\therefore x^{2}+y^{2}=7$。$\therefore(x + y)^{2}-2xy = 7$。$\therefore1^{2}-2xy = 7$。$\therefore xy = -3$。$\therefore(2024 - a)(a - 2023)= -3$。