《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

12. 新考向 真实情境 如图，这是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置 $ OP_1 $，$ OP_2 $ 与吊绳的夹角分别是 30°和 70°，则吊杆前后两次的夹角∠$ P_1OP_2 $ =(C)

A.60°
B.50°
C.40°
D.30°

答案： C

13. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 40°，∠ACD = 76°，BE 平分∠ABC，CE 平分△ABC 的外角∠ACD，则∠E =18°.

答案： 18°

14. A|石家庄外国语校本经典题 如图，在△ABC 中，D 为 AC 延长线上一点，E 为边 AB 上一点，连接 DE 交 BC 于点 F. 已知∠BCD = 92°，∠A = 27°，∠BED = 44°，求∠BFD 的度数.

答案： 解：
∵∠BCD=92°，∠A=27°，∠BCD是△ABC的外角，
∴∠BCD=∠A+∠B. ∠B=∠BCD-∠A=65°.
∵∠BFD是△EFB的外角，
∴∠BFD=∠B+∠BED=65°+44°=109°.

15. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＞ ∠B，AD 平分∠BAC，P 为线段 AD 上的任意一点，EP⊥AD 交直线 BC 于点 E.
(1)若∠B = 36°，∠ACB = 78°，则∠E =21°.
(2)当点 P 在线段 AD 上运动时，求证：∠E = $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠B).

答案：
(1)21°
(2)证明：
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB).
∵AD平分∠BAC，
∴$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=90°-\frac{1}{2}(∠B+∠ACB). $
∴$∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+90°-\frac{1}{2}(∠B+∠ACB)=90°+\frac{1}{2}(∠ACB-∠B). $
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°.
∴∠ADC+∠E=90°.
∴$∠E=90°-∠ADC=\frac{1}{2}(∠ACB-∠B).$

微专题 1 运用“飞镖形”“8 字形”求角度
以题明法
常用的两个基本图形公式：
飞镖形结论：如图 1，∠BOC = ∠BAC + ∠B + ∠C.
推理过程：如图 1，连接 AO 并延长至点 D.
∵ ∠BOD = ∠B + ，∠COD = ∠C + ，∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = .
还可以延长 BO 交 AC 于点 E 得出此结论，试试看吧！
8 字形结论：如图 2，∠A + ∠B = ∠C + ∠D.
推理过程：如图 2，∵ ∠AOC = ∠A + ，∠AOC = ∠C + ，∴ ∠A + = ∠C + .
还可以根据∠A + ∠B + ∠AOB = ∠C + ∠D = ∠COD 得出此结论，试试看吧！

答案： ∠BAO；∠CAO；∠BAC+∠B+∠C；∠B；∠D；∠B；∠D

1. 如图，AB，CD 相交于点 O，连接 AD，BC. 若∠A = 43°，∠D = 57°，∠C = 37°，则∠B 的度数为63°.

答案： 63°

2. 如图，CE 平分∠ACD，交 AB 于点 E. 若∠A = 40°，∠B = 30°，∠BDC = 110°，则∠BEC 的度数为60°.

答案： 60°

3. A|人大附中校本经典题 如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E =180°.

答案： 180°